26.4 实际问题与二次函数 同步练 (含答案) 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4 实际问题与二次函数 1.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件；每件售价每降低1元，每周销量增加20件.设每件售价为x元，每周利润为元，则与的函数关系式为( ) A. B. C. D. 2.某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( ) A. B. C. D. 3.如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为( ) A.18秒 B.9秒 C.6秒 D.3.6秒 4.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是( ) A. B. C. D. 5.如图是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短，宽增加，要想使重修后的花园面积达到最大，则x应为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.4 6.家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（）近似满足函数关系.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( ) A. B. C. D. 7.“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰.中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展.某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本为20元，按每件24元的价格出售，每日可售出40件.经市场调查发现，这种模型每件每涨价1元，日销售量会减少2件，则每件模型应涨价______元，才能使日利润最大. 8.某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为（示意图如下），以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计的高度应为______m. 9.如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，其图象如图2所示，点在图象上.若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高的矩形，则可判定该货车______完全停到车棚内.（填“能”或“不能”） 10.一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 11.数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图.要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大.下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是( ) A. B. C. D. 12.图（1）是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深.如图（2），将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）.嘉淇在图（1）中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是 结论I：玻璃水杯左右轮廓线所在抛物线的解析式为； 结论II：图（2）中，点P到杯口AB的距离为. A.I不对，II对 B.I对，II不对 C.I和II都对 D.I和II都不对 13.图（1）是一座三拱悬索桥，图（2）是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点（M，N位于同一水平线）处.从桥头点A处的碑文得知桥面AF长为270米，小张从桥头点A出发走到桥尾点F过程中的微信步数（步长视为定值）统计如下表： 计数位置 点A 点B 点C 步数/步 0 140 180 计数位置 点D 点E 点F 步数/步 360 400 540 根据上述数据信息得小张的步长为______米，中间两桥墩的距离______米. 14.根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），以点O为原点所在直线为y轴，建立如图所示坐标系.电缆的最低点D到y轴的距离为30米，点D到坡面的铅直高度米，（于F），经测量，斜坡的坡度为（即）. 素材2 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患. 完成以下任务 (1)求出下垂电缆（抛物线）的解析式； (2)上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由. 答案及解析 1.答案：A 解析：由每件售价为x元，得每件售价降低了元，每件利润为元，则每周销量增加了件，.故选A. 2.答案：D 解析：由该厂第三季度平均每月的增长率为x，得八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意，得y与x满足的函数关系式是. 3.答案：A 解析：，，当时，s有最大值，此时飞机停下来，∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒.故选A. 4.答案：B 解析：，，当时，y取最大值，为，即，水流喷出的最大高度是，故选B. 5.答案：C 解析：设重修后的花园面积为，由题意可得.，有最大值，即当时，S取得最大值. 6.答案：C 解析：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， 抛物线对称轴且， ， 旋钮的旋转角度x在和之间，燃气灶烧开一壶水最节省燃气. 故选：C. 7.答案：8 解析：设每件模型涨价a元，日利润为w元，则，，当时，w取最大值，即每件模型应涨价8元，才能使日利润最大. 8.答案：5 解析：由题意，知题图中右边喷出的水柱所形成的抛物线的顶点坐标为，且过点，则设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入，得，则，则抛物线的解析式为，当时，. 9.答案：能 解析：解题思路：判断货车能否完全停到车棚内，本质是比较当B，D，E在一条直线上时，CF与当时，y值的大小.若，则能；否则，不能. ，，.在中，当时，.，可判定该货车能完全停到车棚内. 10.答案：（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点O正上方处 解析：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为. 当时，，，球不能射进球门. （2）设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的解析式为. 把代入，得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点O正上方处. 11.答案：B 解析：设矩形直线跑道，矩形面积为，由题意得： ∵， ∴当时，y最大，即直线跑道长应为， 半圆形的直径为 所以应设计矩形的长为，宽约为时，矩形面积最大. 故选：B. 12.答案：B 解析：如图，过点P作轴于E. 由题得点，，. 设玻璃水杯左右轮廓线所在抛物线的解析式为， 把点C的坐标代入得，，解得， ，故结论I正确. 设点.，是等腰直角三角形，，，解得，（舍去）， ，，即点P到杯口AB的距离为，故结论II不正确.故选B. 13.答案：； 解析：根据题意得小张的步长为（米）. 以点A为原点，AF所在直线为x轴，步长为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，. 设AM段抛物线的表达式为. 将代入得， ，段抛物线的表达式为. 三条抛物线的形状相同，CD的中点坐标为， 设MN段抛物线的表达式为. 将代入得， ，段抛物线的表达式为. 令，解得，即点M的横坐标为162， 由对称性知点N的横坐标为，（步），（米）. 故答案为0.5，108. 14.答案：(1)； (2)不符合安全要求，理由见详解. 解析：(1)由题意知O为原点，米，A在地面上， ， 米，斜坡坡度为，即， 米， 右侧地面点B的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得， 斜坡所在直线的解析式为， 米且塔柱竖直， 右侧电缆固定点C的坐标为， 最低点D到y轴的距离为30米， 点D的横坐标为30， 此时坡面纵坐标为， 点D到坡面的铅直高度米， 点D的纵坐标为， 即， 设抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得， . (2)设电缆上任一点到坡面的铅直高度为h米， ， ， ， ， 当时，h取得最小值13.25米， ， 上述电缆的架设不符合安全要求. 学科网（北京）股份有限公司 $