精品解析：浙江省台州市书生中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

台州市书生中学2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 命题人： 2026.10 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：共8小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 6. 若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 两圆相交，公共弦的方程为 C. 圆与圆有三条公切线 D. 圆平分圆的周长 10. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 11. 定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线垂直 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 14. 设为正实数.直线过点和，直线过点和，设两直线交于点P.若三角形面积为100，则t的整数部分为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 16. 直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. （1）设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 17. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； （2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 18. 在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为60°. （1）求点D到底面的距离； （2）设M是侧棱上一动点，是否存在点M，使得的余弦值为，若存在，求的值. 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市书生中学2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 命题人： 2026.10 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：共8小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 4. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 5. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则   . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 6. 若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过定点，根据对称性得到，进而得到点的轨迹方程，结合向量数量积的坐标表示、圆与圆的位置关系及圆上的点到定点距离的最值求解判断即可. 【详解】由，得，所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，所以. 设，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为. ①，，则. 由圆的方程可知，的范围为， 所以的取值范围是，①正确. ②当时，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆， 联立，解得或，即或. 当时，，直线的方程为，存在； 当时，，直线的方程为，存在； 故当时，符合条件的点有2个，②错误. ③当取到最大值时，，此时在延长线上，坐标为. 此时的中点为，， 所以，即，解得，③正确. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 8. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 两圆相交，公共弦的方程为 C. 圆与圆有三条公切线 D. 圆平分圆的周长 【答案】BD 【解析】 【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程， 结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 10. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 11. 定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. 若，则直线与直线垂直 C. 若，则直线与直线垂直 D. 若，则直线与直线相交 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误. 【详解】设， 对于A，即为， 故， 所以直线的方程为：， 因为，直线与直线平行，故A正确； 对于B，设直线，取， 则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误； 此时也成立，故C错误； 对于D，仍取直线，取， 此时，故成立，此时与直线重合，故D错误. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 14. 设为正实数.直线过点和，直线过点和，设两直线交于点P.若三角形面积为100，则t的整数部分为______. 【答案】22 【解析】 【详解】直线方程为：；直线方程为：. 联立，解得，， 即，由已知得, 直线方程为：， 则点到直线的距离为： ， 所以， 化简得，，即，， 因为，，，即且， 所以，即，故t的整数部分为22. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面  （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，​，， 所以，又，所以. 16. 直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. （1）设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【答案】（1）， （2）16， 【解析】 【分析】（1）根据斜率和经过的点坐标求出直线的方程，进而可求出坐标；然后根据垂直关系求出直线的方程，进而可求出坐标. （2）先列出三角形面积的表达式，然后根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是. 所以直线的方程为，即. 令，则，所以. 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为. 令，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以直角三角形的面积为. 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点的坐标为. 17. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； （2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【答案】（1）； （2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时 【解析】 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离； （2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长. 【小问1详解】 由题意得，∴； 【小问2详解】 设圆的方程为， 因为该圆经过三点，∴，得到. 所以该圆的方程为：， 化成标准方程为：. 设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：， 圆心（6，8）到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时. 即在安全警示区内行驶时长为半小时. 18. 在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为60°. （1）求点D到底面的距离； （2）设M是侧棱上一动点，是否存在点M，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，进而可证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，即可求解； （2）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 由，，，平面， 平面，又平面， 故平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. 【小问2详解】 由（1）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）①②. 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将  与  的关系转化为直线  与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论  的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【小问1详解】 由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线  过 ，与圆交于 ，且  为  的中点，设 ，则 ， 由  在圆  上，得 又  在圆上：，两式相减得 因为直线  与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，，  时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $