浙江省台州市新河中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试数学试题

浙江省台州市新河中学2024学年第一学期12月阶段性考试 高二数学参考答案 一、单选题 1．已知递增的等差数列的前项和为，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等差数列前n项和公式计算得解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则由题得，解得， 所以. 故选：D. 2．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率． 【详解】椭圆，左焦点，下顶点， 设，，的中点为，，． ，． 由，，两式相减得， 可化为，得，即，两边平方得， 化为：，解得，又，解得． 故选：A． 3．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故选：A 4．已知向量满足与的夹角为，设，数列的前项和为，则（    ） A．120 B．180 C．210 D．420 【答案】C 【分析】根据累加法可得，进而可得，即可根据等差求和公式求解. 【详解】， 由于，与的夹角为，故， 因此， 故， 故选：C． 5．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 二、多选题 6．已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线，的交点在定圆上 D．若为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为直线，即， 令，解得，则直线恒过定点，故A正确； 对于选项B，因为直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 将点代入圆可得， 即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误； 对于选项C，联立两直线方程可得，解得， 消去可得，即，故C正确； 对于选项D，设，因为，且为中点，所以， 而圆的圆心，半径为， 则圆心到弦的距离为，即， 即点的轨迹方程为，圆心，半径为， 由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为， 两圆圆心距为， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 7．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（    ） A．若，则，； B．若，则使的最大的n为15； C．若，，则中最大； D．若，则. 【答案】ABD 【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即， 根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A正确； 对于B：因为，则， 所以，又， 所以， 所以，， 所以使的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为，则， ，则，即， 所以则中最大，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以，即，故D正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 8．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C．若直线过焦点，当时，则 D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出、的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错； 对于B选项，若直线过焦点，则， 线段的中点到直线的距离为，所以，， 因此，以为直径的圆与相切，B对； 对于C选项，当时，直线的方程为， 联立可得，不妨取、，则， 此时，，C对； 对于D选项，线段的中点坐标为， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得， 由作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 9．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以，， 所以，则平面与平面为同一平面， 所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误； 对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，连接， 因为，且，所以四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，    设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 10．等差数列的前项之和为，若，，则 ． 【答案】90 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答. 【详解】由得：，整理得，由得：，整理得， 而，即，于是得， 所以. 故答案为：90 11．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 【答案】 【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 12．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答． 【详解】依题意，，而为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离, 故答案为： 13．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题 14．等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 15．如图，在三棱锥中，若，，,点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求PM的长度； (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值． 【详解】（1）∵为线段的中点，∴， ∵，∴， ∴ ； （2） ． ∴异面直线PM与AC所成角的余弦值为 16．已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； (3)设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以为直径的圆与有除、外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离公式得到，可得，进而结合离心率求解即可； （2）根据题意得到，可得点的轨迹为抛物线，进而求解； （3）设，，，且，，由结合向量可得，进而根据基本不等式可得，再根据二次函数性质求解即可. 【详解】（1）由题意，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切， 则，即，又，， 解得，，所以椭圆的方程是． （2）由条件可知， 即动点到定点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线，且， 则点的轨迹的方程是． （3）由（2）知，若存在点， 设圆与抛物线的一个公共点与，则有． 设，，，且，， 则，， 所以， 整理化简得，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则， 故的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第（3）题关键在于根据题意由结合向量可得，进而根据基本不等式可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省台州市新河中学2024学年第一学期12月阶段性考试 高二数学试题卷 班级：___________姓名：___________ 一、单选题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知递增的等差数列的前项和为，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 2．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足与的夹角为，设，数列的前项和为，则（    ） A．120 B．180 C．210 D．420 5．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    B． C． D． 2、 多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 6．已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线，的交点在定圆上 D．若为中点，则的最小值为 7．首项为正数,公差不为0的等差数列,其前项和为,则下列4个命题中正确的有（  ） A．若，则，； B．若，则使的最大的n为15； C．若，，则中最大； D．若，则. 8．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C．若直线过焦点，当时，则 D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 9．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）  A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若,且,则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 3、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 10．等差数列的前项之和为，若，，则 ． 11．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 12．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ． 13．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 四、解答题 14．（10分）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 15．（10分）如图，在三棱锥中，若，，,点为棱上一点，且，点为线段的中点． (1)求PM的长度； (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值． 16．（11分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； (3)设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以为直径的圆与有除、外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$