精品解析：浙江省金华市四校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 18 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（ ） A. B. C. D. 5. “牟合方盖”是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体，研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，若某正方体对应的牟合方盖体积是，则该正方体的棱长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若复数满足，则的最小值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有3个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11. 在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. ，， C. 若，则 D. 若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 圆关于直线的对称圆的标准方程为_______． 13. 若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 14. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 17. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． （1）求点P所在曲线的方程； （2）已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大顺序排列，再根据中位数定义计算即得. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，8，14，16，20， 故其中位数为排序后第个数据：14. 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 4. 下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把每条直线化成斜截式，k是斜率，b是y轴截距，再依次判断即可. 【详解】对于A项，将直线化为斜截式得到，斜率为，故A错误； 对于B项，将直线化为斜截式得到，斜率为，y轴截距，直线交y轴正半轴，经过第一象限，故B正确； 对于C项，将直线化为斜截式得到，斜率为，y轴截距，直线过二、三、四象限，不经过第一象限，故C错误； 对于D项，将直线化为斜截式得到，斜率为，故D错误； 5. “牟合方盖”是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体，研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，若某正方体对应的牟合方盖体积是，则该正方体的棱长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】正方体的内切球直径等于正方体棱长，所以内切球半径， 则内切球的体积，由，，得， 所以，从而，解得. 6. 已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：D 7. 斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 8. 在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出曲线方程，在中由余弦定理得，再利用基本不等式，结合余弦函数的单调性可得最大值，此时是直角三角形，求出圆的方程与曲线方程联立可得答案.， 【详解】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴， 所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由得， 化简得， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 在中，，， 由余弦定理得 ， 又因为，所以， 当且仅当即时等号成立，所以， 因为在上单调递减，所以当时， 最大，此时，由 可得，所以是直角三角形，且， 所以，可得的外接圆的圆心即为的中点， 所以，圆的方程为， 由得，或， 即， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的定义及几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A,，错误； 对于B，在复平面内对应的点为位于第四象限，错误； 对于C，，正确； 对于D，设， 则，故对应的点在单位圆上运动. ，相当于单位圆上的点到点距离， 最小值为，正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有3个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有3个点到直线距离为1，说明半径减去圆心到直线的距离为1；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线：与圆：相交，所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最大值为，此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，圆上3个不同点到直线距离为1，则，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆方程为，过点的半径所在直线的斜率为， 故切线的斜率为，则切线方程为，即，故D正确. 11. 在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. ，， C. 若，则 D. 若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，若,则，点与点重合，平面与棱交于，即平面与棱交于,通过证明平面,可得；对于B，由已知可得全等，则，取中点，连接延长交CD于点，连接，可证平面，故当点位于时，，而点与点不一定重合，所以选项B未必成立；对于C，若，则点，分别为线段的中点，由于四点共面，通过空间向量线性运算结合空间向量基本定理可判断；对于D，由已知条件可得，设四棱锥体积为，那么，则，则，，又，故，通过空间向量线性运算结合空间向量基本定理可求出即可判断. 【详解】点，分别满足，，，， 故点，分别位于线段上且与点不重合. 对于A，若,则，点与点重合， 平面与棱交于即平面与棱交于, 由，平面，平面,得平面， 由平面平面,平面,平面可得，故A正确； 对于B,，，那么全等， 则，取中点，连接延长交CD于点，连接， 则有,，那么平面， 故当点位于时，，而点与点不一定重合，所以选项B不一定成立； 对于C，若，则点，分别为线段的中点， 由于，那么 即， 又四点共面，所以， 即， ，又， 所以， 由于不共面，根据空间向量基本定理可知， ，故C正确； 对于D，， 由于，，， 所以， 因为，所以， 设四棱锥体积为，那么， 则， 又平面将该四棱锥分成上、下体积相等， 所以，，又，故， 由选项C可知， ， 由于不共面，根据空间向量基本定理可知， ， 解得（另一组解舍去），所以存在，故D正确. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 圆关于直线的对称圆的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程. 【详解】圆的标准方程为， 圆心(2,2),半径为2， 圆心(2,2)关于直线的对称点为原点, 所以所求对称圆的标准方程为， 故答案为： 13. 若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得出关于的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 当时，第二次使得， 因为函数在上无最小值， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 14. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，直线过定点，且点为曲线的对称中心，解得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（及内部），求解即可. 【详解】由可知，直线过定点，由知定点为曲线的对称中心，即为的中点，如图， 所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（及内部），所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式进行角化边，利用余弦定理得，结合得到的值． （2）由利用平方关系求出．将转化为 ，利用两角差的正弦公式求出，利用求出，利用三角形的面积公式得解. 【小问1详解】 将正弦定理代入已知条件， 得． 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 由，可得． 又 ， 则． 故的面积． 16. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 17. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【小问1详解】 设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． 【小问2详解】 设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． 【小问3详解】 事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量可求得结论； （2）求出两平面的法向量，再由向量法可求出平面与平面夹角的余弦值； （3）不妨设，根据直线与平面所成角的正弦值为，可得，利用点到平面距离的向量求法可得其距离为. 【小问1详解】 记的中点为，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 而， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 而， 所以，令，则 ， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． （1）求点P所在曲线的方程； （2）已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【小问1详解】 易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $