精品解析：吉林省第二实验高新学校2026-2027学年上学期九年级第一阶段学情检测数学试题

吉林省第二实验学校九年级第一阶段学情检测 数学试卷 本卷满分120分 答题时间120分钟 一．选择题．（每题3分，共24分） 1. 下列式子可以表示成的是（ ） A. B. C. D. 4+4+4 2. 若是某不等式的解，则该不等式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，去括号或添括号错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 圆中最长的弦只有一条 B. 半圆不是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 5. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共18分） 9. 分解因式： ______． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 11. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 12. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 14. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 三．解答题．（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八年（9）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多元，且用元购买绿萝的盆数与用元购买吊兰的盆数相同，求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ 17. 为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38） 18. 如图，内接于，且点，，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图中的圆上找一点，使得点平分； （2）在图中的圆上找一点，使得平分； （3）在图中的圆上找一点，使得平分． 19. 如图，，是上的两点，，，是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是上的点，直接写出的最大值为________． 20. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元/双时，每天能售出双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式： （2）当降价元时，公司平均每天所获利润为________元； （3）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋降价多少元？ 22. 四边形是矩形，点在边上，． （1）【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； （2）【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； （3）【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 23. 如图，在边长为的正方形中，是边上的动点（不与点，重合）．将沿翻折，得到．过点作，，垂足分别为、． （1）当点为边中点时，________； （2）如图，若，求的值； （3）如图，若为中点，则的长为________，的长为________； （4）点运动过程中，当长度取最小值时，则的正切值为________． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，抛物线与x轴正半轴交于点B，点C是抛物线上一动点，点C的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标； （3）设抛物线在B、C两点之间的部分（含B、C两点）为图象G，当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求m的值； （4）记时，二次函数的最大值与最小值之差为．若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校九年级第一阶段学情检测 数学试卷 本卷满分120分 答题时间120分钟 一．选择题．（每题3分，共24分） 1. 下列式子可以表示成的是（ ） A. B. C. D. 4+4+4 【答案】B 【解析】 【详解】解：中3是底数，4是指数，表示4个3相乘， 即． 2. 若是某不等式的解，则该不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，在四个选项中，只能是不等式的解． 3. 下列各式中，去括号或添括号错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查去括号和添括号的规则，根据法则，观察括号内符号的变化是解题关键． 根据括号前的符号判断括号内各项的符号变化：括号前是加号，括号内各项符号不变；括号前是减号，括号内各项符号改变，逐项验证即可． 【详解】解：选项A：，括号前是减号，去括号后括号内各项符号改变，正确； 选项B：，括号前是加号，添括号后括号内符号不变，正确； 选项C：，括号前是加号，去括号后符号不变，正确； 选项D：，括号前是减号，添括号后括号内各项符号应改变，即应为 ，但原式右边为 ，与左边 不符，错误． 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 圆中最长的弦只有一条 B. 半圆不是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 5. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解的概念及计算是关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， ∴， 解得，， 故选：C ． 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为H，在中，有勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 7. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质判断各选项即可. 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交点在负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴A、B选项不符合题意； ∵由图象可知，当时，， ∴， 把代入得， ∴C选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴， ∴D选项符合题意． 8. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴，轴，可证四边形是正方形、，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，轴， ， 四边形是矩形， ∴， ， 是第一象限的角平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为， 代入反比例函数的解析式， 可得：， ． 二．填空题．（每题3分，共18分） 9. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 11. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列不等式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 12. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，正方形的性质，求一次函数的函数值，先求出点A的坐标，进而根据正方形的性质可得点B的横坐标，可证明点B与点C关于y轴对称，则可求出点C的坐标，进而可求出对应的函数解析式． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴点B的横坐标为， ∵在轴上， ∴轴， ∵点B和点C在二次函数图象上，且二次函数的对称轴为y轴， ∴点B和点C关于y轴对称， ∴点C的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 设二次函数解析式为，则， ∴， ∴二次函数解析式为， 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据“弧、弦、圆心角的关系”，即可判断；②连接，根据“弧、弦、圆心角的关系”，易得，再根据圆周角定理，即可判断；③根据圆周角定理，可得，计算可得，从而，再利用勾股定理，即可求解；④先求，再计算即可． 【详解】解：①， ，故①正确； ②如图，连接，   点是的中点， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， ， 在中，， ， ，即的半径为，故③正确； ④的半径为，， ， ， 则，故④不正确； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 三．解答题．（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 16. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八年（9）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多元，且用元购买绿萝的盆数与用元购买吊兰的盆数相同，求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ 【答案】购买绿萝的单价是元，购买吊兰的单价是元 【解析】 【分析】设购买绿萝的单价是元，则购买吊兰的单价是元，根据用元购买绿萝的盆数与用元购买吊兰的盆数相同，列出关于的分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设购买绿萝的单价是元，则购买吊兰的单价是元， ∵用元购买绿萝的盆数与用元购买吊兰的盆数相同， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴购买绿萝的单价是元，购买吊兰的单价是元． 17. 为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38） 【答案】23米 【解析】 【分析】根据锐角三角函数求得线段，从而求得旗杆AB的高度． 【详解】解：在Rt△ADE中，∵ tan∠ADE＝，∠ADE＝54°， ∴ 又∵， ∴ 答：旗杆AB的高度约为23 m． 【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键． 18. 如图，内接于，且点，，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图中的圆上找一点，使得点平分； （2）在图中的圆上找一点，使得平分； （3）在图中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点M，由网格可得，推出四边形是菱形，由菱形的性质得，即可得出点平分； （2）取格点N，交于点E，由得，则，可得平分； （3）取格点G，H，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，，是上的两点，，，是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是上的点，直接写出的最大值为________． 【答案】（1）证明：如图，连接， ，是的中点， ， 又， 和均为等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由是的中点，可得，进而证明和均为等边三角形，推出，即可证明四边形是菱形； （2）连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值．由菱形的对角线互相垂直且平分，求出，再利用勾股定理、垂径定理求出，最后根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值． ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ，， ，， ， ． 即的最大值为． 20. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）是的切线， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】对于（1），作线段的垂直平分线，交于点E，作直线； 对于（2），根据“等边对等角”得，，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，则答案可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元/双时，每天能售出双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式： （2）当降价元时，公司平均每天所获利润为________元； （3）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋降价多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2） （3）每双运动鞋降价元． 【解析】 【分析】（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出与的函数关系式； （2）利用总利润每双的销售利润日销售量，求解即可； （3）利用总利润每双的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要求优惠力度最大，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论； 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：每双利润：（元）， 销量：（双）， 总利润：（元）， 答：公司平均每天所获利润为元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要求优惠力度最大， ， 答：每双运动鞋降价元． 22. 四边形是矩形，点在边上，． （1）【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； （2）【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； （3）【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在边长为的正方形中，是边上的动点（不与点，重合）．将沿翻折，得到．过点作，，垂足分别为、． （1）当点为边中点时，________； （2）如图，若，求的值； （3）如图，若为中点，则的长为________，的长为________； （4）点运动过程中，当长度取最小值时，则的正切值为________． 【答案】（1） （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据翻折可得，根据，即可求出的值； （2）根据翻折可得，根据角平分线定理可得平分，可得，进而可得，即可求出的值； （3）根据翻折可得，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法计算即可，再证得四边形为矩形，，得到，即可解出的长； （4）根据题意得到点在以点为圆心，半径为的圆上，则当点在上时，长度取得最小值，在上取点，使，连接，设，则，又，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折，得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：延长交于， ∵正方形的边长为2，且E为中点， ∴，，，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，，， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：连接， ∵沿翻折得到， ∴，， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上， ∴当点在上时，长度取得最小值， ∴， 在上取点，使，连接， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在等腰直角三角形中，， ∴， 解得， 即， ∵， ∴的正切值为． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，抛物线与x轴正半轴交于点B，点C是抛物线上一动点，点C的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标； （3）设抛物线在B、C两点之间的部分（含B、C两点）为图象G，当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求m的值； （4）记时，二次函数的最大值与最小值之差为．若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求的最小值． 【答案】（1）； （2）点B的坐标为； （3）m的值为或； （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）令，得出，结合题意即可得出点B的坐标； （3）设，然后分两种情况分析：①当时，图象G在对称轴右侧，y随x增大而增大；②当时，结合题意，计算最高点和最低点的值即可； （4）根据题意得出对称轴为在内，确定，然后求出当时，，当时，，分情况比较函数值的大小，得出当时，，当时，，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得： ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得， ∵点B在x轴正半轴上， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线解析式为，对称轴为直线，顶点为， 由（2）知， 设， ①当时，图象G在对称轴右侧，y随x增大而增大， 最高点为C，最低点为B， ， 解得， ， ； ②当时， 若，最高点为B，最低点为C， ∴，即 ∵， ∴该方没有实数根，不符合题意，舍去； 若，最高点为C，最低点为顶点， ∴， 解得(舍去)或； 若，最高点为B，最低点为顶点， 由于，此情况不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为或； 【小问4详解】 解：由（1）知抛物线解析式为，对称轴为直线，顶点为， ∵，设，点C在点A，B之间运动（含点A，B）， ∴， ∴， ∴对称轴在内， ∴， 当时，， 当时，， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴最大值为， ∴， 对应函数图象开口向上，对称轴为直线，在上y随x的增大而减小， ∴最小值在处取得，即； 当时，， ∴， ∴最大值为， ∴， 对应函数图象开口向上，对称轴为直线，在上y随x的增大而增大， ∴最小值在处取得，即； ∴当时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $