精品解析：吉林长春市新解放学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

新解放学校初中部2026-2027学年第一学期九年级 数学学科随堂巩固训练 （分值：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破21亿元．将数据“21亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 由7个大小相同的正方体拼成的几何体如下，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如果，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要测量江两岸相对的两点，的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，直线，平行四边形的顶点在直线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_____． 10. 分解因式_____． 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____． 12. 如图，在中，点E是边的中点，交对角线于点F，若，则_______． 13. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，，则的度数为_____°． 14. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，是边上的一个动点，连结，过点作交射线于点．将线段绕点顺时针旋转，得到线段过点作交延长线于点，连结，．给出下面四个结论： ①四边形是平行四边形； ②； ③的最小值为； ④当时，四边形的面积为3． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题（共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中， 16. 小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 17. 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品． 18. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连结，和，且．求证：四边形是矩形． 19. 图①，图②．图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的上找一点，连结，使； （2）在图②中的上找一点，连结，使； （3）在图③中的上找一点，连结，使． 20. 某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70 74 77 77 78 79 79 81 82 85 85 85 85 87 88 88 91 96 96 97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中_____，表2中_____，_____； （2）已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； （3）若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 21. 某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）之间的函数关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）当蓄电池剩余电量为15千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，请计算报警时汽车行驶多少千米． 22. 实践与探究： 【问题提出】如图①，在四边形中，，，，连接．求证：． 【问题解决】小明的思路是：如图②，延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证． 证明：延长到点，使，连接． ．．．．．． （1）请你帮助小明补全证明过程； 【拓展应用】如图③，四边形中，，，与交于点． （2）线段之间的数量关系为_____； （3）若，_____． 23. 如图，在中，，，点在边上，，点为线段上一点（不与点，重合），将射线绕点顺时针旋转，交于点，且，连结． （1）_____； （2）求证：； （3）当时，求的面积； （4）当为直角三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线顶点坐标为点，与轴交于点．点在轴上，其横坐标为，点坐标为． （1）点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）当点落在抛物线上时，求点的坐标； （3）连结，，以，为邻边作平行四边形． ①当轴将平行四边形分成两部分时，求的值； ②当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放学校初中部2026-2027学年第一学期九年级 数学学科随堂巩固训练 （分值：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】负数比较大小，绝对值越大，这个数就越小，估算各负数的绝对值，再进行大小比较． 【详解】解：，， ，，，， ， ， 最小的实数是． 2. 电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破21亿元．将数据“21亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：21亿， ． 3. 由7个大小相同的正方体拼成的几何体如下，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图有两列，小正方形的个数分别为，，如图所示， 4. 如果，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 5. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点所在的象限列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 6. 如图，要测量江两岸相对的两点，的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得， 则在中， ∴（米）． 7. 如图，直线，平行四边形的顶点在直线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作 ，利用平行线的性质将和转化到处，结合平行四边形对角相等即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 8. 如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_____． 【答案】7 【解析】 【详解】解：． 10. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，列出不等式，再解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 12. 如图，在中，点E是边的中点，交对角线于点F，若，则_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知易得，由此可得，从而可得，这样即可由解得，，从而可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，，则的度数为_____°． 【答案】55 【解析】 【分析】由作图可知是的垂直平分线，故；以G为圆心、为半径画弧得从而；利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴， ∴， 又由作图知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，是边上的一个动点，连结，过点作交射线于点．将线段绕点顺时针旋转，得到线段过点作交延长线于点，连结，．给出下面四个结论： ①四边形是平行四边形； ②； ③的最小值为； ④当时，四边形的面积为3． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和“”，易得，从而，再根据“同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行”可得，即可说明；②利用“”易得，从而，即，进而，即可说明；③设，则，根据勾股定理，可得，再根据二次函数的性质，即可求出最小值；④根据，计算求解即可． 【详解】解：过点作交于点， 正方形的边长为，， ，，， 四边形是矩形， ， ①， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由旋转可得，， ， 四边形是平行四边形，故①正确； ②由旋转可得，，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ， ，故②正确； ③设， ， ，则， 在中，， 当时，取得最小值，为， 的最小值为，故③正确； ④， ，， ， ， ， 当时，四边形的面积为4，故④错误． 综上所述，正确结论的序号有①②③． 三、解答题（共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的结果数有种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率是． 17. 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品． 【答案】 师傅每天加工50个这种工艺品，徒弟每天加工40个这种工艺品． 【解析】 【分析】设师傅每天加工个这种工艺品，则徒弟每天加工个这种工艺品，根据师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设师傅每天加工个这种工艺品，则徒弟每天加工个这种工艺品， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则（个）， 答：师傅每天加工50个这种工艺品，徒弟每天加工40个这种工艺品． 18. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连结，和，且．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形. 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可. 【详解】略 19. 图①，图②．图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的上找一点，连结，使； （2）在图②中的上找一点，连结，使； （3）在图③中的上找一点，连结，使． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于点，可得到，则； （2）取格点，连接交于点，可得到，则； （3）由勾股定理得，由，得，则，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70 74 77 77 78 79 79 81 82 85 85 85 85 87 88 88 91 96 96 97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中_____，表2中_____，_____； （2）已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； （3）若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 【答案】（1）；； （2）估计高于90分的学生有96人； （3）93． 【解析】 【分析】（1）根据表格、箱线图以及中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）结合箱线图求解即可． 【小问1详解】 解：由表格知， 解得； 由箱线图可知，校区中位数； B校区成绩里出现次最多，众数； 【小问2详解】 解：B校区样本人中高于90分的有：91，96，96，97，共4人 ∴， 答：估计高于90分的学生有96人； 【小问3详解】 解：A校区箱线图：最小值66，下四分位数76.5，中位数85，上四分位数91.5，最大值99． 一共20个数据，上四分位数是第15、16号两个数据的平均数，等于91.5． 也就是：第16号数据，第17号是第六组的第一个数据． 第六组：，本组一共4个学生，其中1人成绩是90分． 所有成绩从小到大排，第15、16、17、18号属于第六组，第19、20号属于第七组． 已知第六组最低分第15号成绩为90，结合第15、16号平均数为91.5， 计算可得第16号成绩为93，其余3名学生成绩最小值为93． 所以除去90分之外，剩下3名同学成绩的最小值是93． 21. 某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）之间的函数关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）当蓄电池剩余电量为15千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，请计算报警时汽车行驶多少千米． 【答案】（1） （2）报警时汽车行驶千米 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出关于的函数表达式即可； （2）把代入（1）中的函数表达式，即可求出报警时汽车能行驶的千米数． 【小问1详解】 解：当时，设，把点，代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，则， ， 答：报警时汽车行驶千米． 22. 实践与探究： 【问题提出】如图①，在四边形中，，，，连接．求证：． 【问题解决】小明的思路是：如图②，延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证． 证明：延长到点，使，连接． ．．．．．． （1）请你帮助小明补全证明过程； 【拓展应用】如图③，四边形中，，，与交于点． （2）线段之间的数量关系为_____； （3）若，_____． 【答案】（1）证明：延长到点，使，连接． ，， ， ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全证明过程即可； （2）延长到点，使，连接，证明，推出等腰直角三角形，即可得到； （3）作，，垂足分别为和，推出四边形是矩形，和都是等腰直角三角形，设，求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长到点，使，连接． ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 作，，垂足分别为和， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，点在边上，，点为线段上一点（不与点，重合），将射线绕点顺时针旋转，交于点，且，连结． （1）_____； （2）求证：； （3）当时，求的面积； （4）当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形的性质和三角函数的定义求解即可； （2）求得，结合，即可证明； （3）作于点，设，则，证明，求得，求得，，由，求得，利用，求得，据此计算即可求解； （4）分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于点， 设，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 【小问4详解】 解：当时，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 同理，，即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线顶点坐标为点，与轴交于点．点在轴上，其横坐标为，点坐标为． （1）点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）当点落在抛物线上时，求点的坐标； （3）连结，，以，为邻边作平行四边形． ①当轴将平行四边形分成两部分时，求的值； ②当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 （3）①的值为或；② 【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式可直接得到点的坐标，令，求解的值，可得点的坐标； （2）将点的坐标代入抛物线解析式即可得解； （3）①分三种情况讨论：若点在轴的正半轴（含坐标原点）；若点在轴的负半轴，点在轴左侧时；若点在轴的负半轴，点在轴右侧时，根据全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，将面积问题转化为点与点的横坐标之间的数量关系，列方程求解即可；②分三种情况讨论：当时，点在对称轴左侧；当时，点与顶点重合；当时，点在对称轴右侧，画出对应图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点坐标为点，与轴交于点， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点落在抛物线上，点坐标为， ∴， 整理得，解得，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①若点在轴的正半轴（含坐标原点）， ∵，， ∴点在点的右侧，以，为邻边作平行四边形，此时平行四边形均在轴右侧，不存在轴将平行四边形分成两部分，故此情况不存在； 若点在轴的负半轴，点在轴左侧时，如图，设交轴于点，过点作轴交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵轴将平行四边形分成两部分， ∴，即， ∴，即， ∴，即， 解得或（不合题意，故舍去）， 即的值为； 若点在轴的负半轴，点在轴右侧时， 同理可得，， ∵轴将平行四边形分成两部分， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的值为或； ②当时，点在对称轴左侧，此时内部的点的纵坐标随增大而减小，不符合题意； 当时，点与顶点重合，此时内部无抛物线的点，不符合题意； 当时，点在对称轴右侧，此时内部的点的纵坐标随增大而增大，符合题意； 综上，的取值范围是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $