第一章勾股定理 素养提优测试卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理 素养提优测试卷 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 时间：90分钟 满分:120分 一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分) 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是 ( ) A.2,3,5 B.7,8,9 C.6,8,10 D.5,12,11 2.「2026河南驻马店期末」在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A.∠A+∠B=90° B. C. a:b:c=3:4:5 D. 3.在锐角△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则BC的长度为 ( ) A.16 B.15 C.14 D.13 4.「2026浙江衢州期中」如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠CDA=90°，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若 则S₄的值为 ( ) A.16 B.12 C.9 D.5 5.如图所示的是一块光学直角棱镜的截面示意图，记为Rt△ABC，AB 所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB=90°,BC=10cm,现将一束单色光从AC边上的点 O射入，折射后到达AB边上的点D处，恰有CD⊥AB，再经过反射后,从点E射出,DE⊥BC,垂足为点E,已知BD=6cm,则DE 的长为 ( ) A.8cm B.3.6cm C.4.8cm D.6.4 cm 6.某古籍中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几?”大意：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板和人一样高，这个人的身高为5尺.如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为 ( ) A.12尺 B.12.5尺 C.14.5尺 D.15尺 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,连接CD.若△ABC的周长为12,BC=3,则△BCD的周长为 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6 8. 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形.若阴影部分的面积满足 则下列说法正确的是 ( ) A. AB=AC B.2AB=AC C.2AB=BC D.2AC=BC 9.已知直角三角形纸片的两直角边长分别为m和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则( ) A. B. C. D. 10. 如图，将一个棱长为3c m的正方体所有的面均分成3×3个小正方形.假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从底面A 处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时 ( ) A.3.5s B.2.2s C.2s D.2.5s 二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分) 11.如图，小红家的木门左下角有一点儿受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB 和 BC的长分别为2.4m和1m,又测得点A 与点C间的距离为2.6m,则小红家的木门 (填“已变形”或“没有变形”). 12.已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边的正方形的面积为 . 13.「2026江苏南通期末」“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两直角边长分别为m，n(m>n)，若小正方形的面积为1， 则大正方形的面积为 . 14.「2026山东青岛月考」有一棵树，树根下有一个兔子洞，树高15米，树顶有一只鹰，它看见一只兔子迅速向洞口跑去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向兔子扑过去.如果鹰与兔子的速度相等且鹰与兔子的路线都是直线段，则鹰应向距离树根 米处扑击才能恰好抓到兔子. 15.如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE,垂足为O,∠BFD=∠C.若AF=4,BF=3,则点 F到直线AB 的距离为 16.「2026 河南郑州期末」如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点 D 为边AC上一动点,DE⊥AB 于点E,将∠A沿直线DE折叠,点A 的对应点为 F,连接CF,当△DFC是直角三角形时，AD的长为 . 三、解答题(共56分) 17.(8分)如图所示的是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上. (1)求四边形ABCD的面积. (2)求证:∠BCD=90°. 18. (8分)下面是小航同学的错题，请你帮助他完成错题整理： 错题:如图,在△ABC中,已知AB=10,BC=9,AC=17,求△ABC的面积. 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积. 正解： 解:过点A作AD⊥CB交CB 的延长线于点 D,则∠ADC=90°,设BD=x,则CD=9+x, …… (1)根据勾股定理可得AD²= 或 .(用含x的代数式表示) (2)请你补全解题的过程. 19. (8分)如图，有一台风中心沿AB由A向B移动,已知点C 为一海港,AC=150 km, BC=200 km, AB=250km，经测量，以台风中心为圆心周围125 km及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港 C是否会受台风影响. (2)台风中心从A 开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成.若台风中心每小时移动15km，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货?请说明理由. 20.「2026山西运城期末」(10分)《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?”译文：在直立于地面的一根木杆AC的顶端A处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺(如图1).在距木杆底端8尺处的地面上的点 B 处拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直(如图2)，问绳索AB有多长? (1)请通过已学知识解决这个实际问题. (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾(较短的直角边)长为a，弦(斜边)长与股(较长的直角边)长的差为d，弦长为c，请用a，d表示c，其结果为 . 21.(10分)若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°. (1)若AC²=3,BC=2,试说明Rt△ABC是“等边中三角形”. (2)若BC=2且 Rt△ABC是“等边中三角形”,求AC²的值. 22 (12分)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形. 【知识探索】 (1)请用图2验证勾股定理： 【知识迁移】 (2)①如果满足等式 的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数.已知m，n是正整数且m>n.请证明2mn, 是勾股数. ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数： 【知识应用】 (3)鹿鸣社团计划在学校菜园里种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜?(直接写出结果，不必说明理由) 答案速查。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C B C C C A C D 1.0 不是勾股数,7,8,9不是勾股数,5,12,11 不是勾股数. 10²,且6,8,10都是正整数, ∴6,8,10是勾股数. 故选 C. 2. B ∵∠A'∠B=90°,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形，故选项A 不符合题意； ∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意； ∵a:b:c=3:4:5,∴设a=3k(k≠0),b=4k,c=5k, △ABC;是直角三角形，故选项C不符合题意； ∴ △ABC 是直角三角形,故选项 D不符合题意. 故选 B. 3. C 如图,∵ AD 为△ABC 的高,∴ ∠ADB=∠ADC=90°, ∴BD-9,CD=5,∴BC=BD+CD=9+5=14,故选 C. 4. B 如图,连接AC, ∵∠ABC=∠ADC=90°, ,∵分别以四边形ABCD 的四条边为斜边向外作等腰直角三角形， 故选B. 5. C ∵BC=10cm,BD=6cm,CD⊥AB, ∴CD=8cm, ∵DE⊥BC,∴ (cm),,故选 C. 6. C 设绳索的长为x尺,则AB=AD=x尺,由题意可得BC=1尺,DF=CE=5尺,DE=10尺,则AE=(x+1-5)尺,根据勾股定理得 即 解得x=14.5,故绳索长为14.5 尺.故选C. 7. C 设AB=x,∵△ABC的周长为12, ∴AB+AC+BC=12, ∵BC=3,∴AB+AC=9, ∴AC=9-x,由勾股定理得 即 3²,解得x=5,即AB=5, ∵DE 垂直平分AC,∴DA=DC, ∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=3+5=8,故选C. 8. A由勾股定理可得AB²+AC²= BC²,所以 因为 S₃, 所以 即 AC²,所以((AB·AC)²=0,所以AB=AC.故选A. 9. C 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=m,BC=n,过点A 的射线AD 交BC于点 D，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD和△ADB,则AC=CD=m,AD=DB=n-m.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得 所以 n²,所以 故选 C. 10. D易知各个小正方形的边长均为1cm.分情况讨论： ①展开左面与上底面，示意图如图1，连接AB，由勾股定理得 ②展开前面与上底面，示意图如图2，连接AB，由勾股定理得 ③易知展开前面与右面后，连接AB，AB 的长与情况②相同. 因为37>25，所以最短路径长为5cm，所以最少要用时5÷2=2.5(s),故选D. 11.答案 没有变形 解析 因为 所以/ABC=90°，所以小红家的木门没有变形. 12.答案 7 cm²:或25cm² 解析 若4cm为直角三角形的斜边长，则以第三边为边的正方形的面积为 若3cm,4cm为直角三角形的两直角边长，则以第三边为边的正方形的面积为 综上，以第三边为边的正方形的面积为7cm²或25cm². 13.答案 5 解析 由题图可得中间小正方形的边长为m-n，所以(m- 即 ①，因为 所以 ②,①+②得 所以 即大正方形的面积为5. 14.答案 20 解析 根据题意画出示意图如图，点A 处为鹰看见兔子时兔子的位置，点C 处为树根，点D 处为树顶，鹰向点 B 处扑去才能正好抓住兔子，连接BD，设CB的长为x米，则BD=AB=15×3-x=(45-x)米,在 Rt△BCD中,由勾股定理可得 所以 解得x=20,所以BC=20米，所以鹰应向距离树根20米处扑击才能恰好抓到兔子. 15.答案 解析 ∵∠BFD=∠C,∴BF∥CE, ∵AF⊥CE,即∠COF=90°,∴∠AFB=∠COF=90°, ∵AF=4,BF=3, ∴AB=5, 设点 F 到直线AB的距离为 h， ∴点 F到直线AB的距离为 16.答案 解析 分情况讨论： ①当∠DFC = 90°时,由折叠的性质可知∠A =∠AFD,AD=DF, ∴ ∠AFD+∠BFC=90°,∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∴∠BFC=∠B,过点 C作∠BCF的平分线 CH,交AB 边于点H(图略),∴∠BCH=∠FCH,又CH=CH, ∴△BCH≌△FCH.∴ FC=BC=3, 在Rt△DFC中, ②当∠DCF=90°时,点 F 与点 B 重合,此时BC=FC,由折叠的性质可知AD=DF， 在 Rt△DFC中, 综上，当△DFC是直角三角形时，AD的长为 或 故答案为 或 17.解析 (1)四边形 ABCD 的面积为 (2)证明:如图,连接BD. ∴ △BCD 是直角三角形,且∠BCD=90°. 18.解析 (1)100-x²;289-(9+x)². 详解：在Rt△ABD中,AB=10,BD=x, 在 Rt△ACD中,AC=17,CD=9+x, (2)剩余过程:在 Rt△ABD中,AB=10,BD=x, 在 Rt△ACD中,AC=17,CD=9+x, 解得x=6, ∴AD=8, ∴△ABC的面积:= BC·AD= ×9×8=36. 19.解析 (1)如图,过点C作 CD⊥AB,垂足为D, ∵AC=150km,BC=200km,AB=250km, ∴∠ACB=90°, ∴SAAC= AC·BC= AB·CD, ∴CD=4C·BC=150×2000=120(km)<125 km, ∴海港C会受台风影响. (2)货轮在海港C受台风影响之前能完成卸货. 理由：如图，设台风中心在点 E处时，海港C刚好受台风影响,即CE=125 km, 在 Rt△ADC 中,由勾股定理得 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 ∴AE=AD-DE=90-35=55(km), ∵台风中心移动的速度是15 km/h， ∴台风中心从A到E的时间为 小时， ∴货轮在海港C受台风影响之前能完成卸货. 20.解析(1)设绳索长为x尺,则AB=x尺,AC=(x-3)尺,根据题意可知 解得 绳索长为 尺. (2)由题意可得 整理可得 21.解析(1)如图,取BC的中点 D,连接AD,则CD=BD= 由勾股定理得 ∴AD=BC,∴ Rt△ABC是“等边中三角形”. (2)如图1,取BC的中点D,连接AD,则 1,当AD=BC=2时, 如图2，取AC的中点E，连接BE，则 当BE=AC时，由勾股定理得 综上所述， 或 22.解析(1)大正方形的面积可以表示为c²，还可以表示为 所以 (2)①证明:因为m,n是正整数,且m>n,所以2mn,m²+n², 也是正整数.因为( 所以 所以 是勾股数. 答案不唯一,如:20,48,52. (3)这块菜园最少需要种植140棵青菜. 学科网（北京）股份有限公司 $