第一章勾股定理测试题 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年北师大版八年级上册数学第一章勾股定理测试题 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）以下列各组数为勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．15，20，25 D．1，， 2．（本题3分）如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 3．（本题3分）如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 9．（本题3分）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在中，，，则 __________ 12．（本题3分）在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 13．（本题3分）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 14．（本题3分）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 15．（本题3分）一公园入口大门上方装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为___________． 16．（本题3分）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（本题6分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 19．（本题6分）如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 20．（本题8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 21．（本题8分）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开设劳动教育课程并取得了丰硕成果．如图，是该校开垦的一块四边形的学生劳动实践荒地，测得：，，，，． (1)试说明：； (2)该校计划在此劳动实践地上种植花卉，若每种植1平方米花卉需花费20元，求全部种满花卉共需要花费多少元？ 22．（本题8分）如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 23．（本题9分）如图，在中，，，是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（本题9分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 25．（本题10分）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 第8页（共8页） 第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版八年级上册数学第一章勾股定理测试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D D C B B D C 1．C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，不是勾股数； B、选项中的数不全是正整数，不是勾股数； C、∵，， ∴，且均为正整数，是勾股数； D、选项中的数不全是正整数，不是勾股数． 2．B 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 3．A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 4．D 【分析】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 5．D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 6．C 【分析】先利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，，从而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ， 由折叠的性质可知 ， ， ， 点在的延长线上， ， 设，则 ， ， 在中，， 由勾股定理得即， 解得， ． 7．B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 8．B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 【详解】解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 9．D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 10．C 【分析】先分析为等腰直角三角形，根据已知条件构造全等三角形，得出，再利用，得出，设未知量并列方程，根据勾股定理求出的值，计算面积即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 在和中 ，， ， ，， ， ， 设，， ， 又， 在中，， 解得， ． 11．51 【分析】设，根据勾股定理，得，得到，解答即可． 【详解】解：， 设， 根据勾股定理，得， 故， 解得， ， ． 12．12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 13． 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 14．12 【分析】设出未知数，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺． 根据题意，则绳索为尺． 在中，由勾股定理可得， 则，即，解得， 则木柱长为12尺． 15．2 【分析】如图，过点C作于点F，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 根据题意得，，，， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 17．(1)是直角三角形，边所对的角是直角 (2)是直角三角形，边所对的角是直角 (3)不是直角三角形 (4)是直角三角形，边所对的角是直角 【分析】（1）先确定最长边，计算两条较短边的平方和与最长边的平方，根据二者是否相等判断是否为直角三角形；若为直角三角形，最长边所对的角为直角.是直角三角形； （2）类比（1）求解即可； （3）类比（1）求解即可； （4）类比（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （2）解：∵，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （3）解：∵，最长边为和（长度均为）， 又，， ∴， ∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形； （4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角． 18．(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 19．(1)证明：依题得：，， ， 即， ； (2)解：教学楼会受噪声影响． 作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．(1)解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，且； (2)18720元 【分析】（1）利用勾股定理及其逆定理说明即可； （2）先根据三角形面积公式求出劳动实践地的面积，再乘以每种植1平方米花卉的费用求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：劳动实践地的面积， 则全部种满花卉共需要花费（元）． 22．(1)解：为直角三角形，理由如下： 在中，，由勾股定理得： ， ， 在中，，         是直角三角形，且； (2) 【分析】（1）先由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形； （2）分别求出和的面积，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，     ，         图中种花（阴影）部分的面积． 23．(1)∵， ，， 又是的中点， ， ， ； (2) 【分析】（1）结合平行线的性质，证明，即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理求出，由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 24．(1)解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． (2)北偏西 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 25．(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 答案第12页（共14页） 答案第11页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $