2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是边CD的中点.若OB=5,OM=3,则线段CD的 长为() M A.8 B.9 C.10 D.11 2.有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感.则每轮传染中平均一个人传染的人数为 () A.9 B.10 C.11 D.12 3.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,过点D作AC的平行线交BC的 延长线于点E,则△CDE的面积为() A.24 B.18 C.12 D.10 4.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的 边长都是2，则图中重叠部分的面积是() A.1 B.2 C.3 D.4 试卷第1页（共3页） 0A_1 5.如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D,己知OA3,若四边形ABCD的 面积是3，则四边形A'B'CD'的面积是() A.9 B.18 C.24 D.27 2-2(m+1)x+m2+5=0 6.关于x的一元二次方程 有两个实数根，，若 （x-1)(x2-1)=28 则m的 值为() A.4 B.6 C.4或6 D.6或4 7.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某同学进行了如下操作：第一步，将矩形纸片按如图① 所示的方式折叠，使点B落在AD上的点F处，折痕为AE,然后把纸片展平；第二步，将图①中的矩形 纸片按如图②所示的方式折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN,若AB=8,AD=I2,则BM的 长是() B M 图① 图② A.1 B.2 C v5 D.3 8若方程 -6x+8=k(k之0)只有两个实数根，则K的取值范围是（） A.k=0 B.k>1 c.0≤k<1 D.k>1或k=0 9.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部，连接PA,PB,PC,若 ∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是() 试卷第2页（共3页） C A.2-V3 B.2V13-4 C.6 D.6-V5 10,刻图，在正方形ACD中，点EP分别是ADC上点，且E=D,法接BEA水相安于 AF 点M,若∠BMF=45,则BM的值为() E D M 月g 17V2 c 342 B.15 D.33 二、填空题（每题3分，共18分） 11.2026年9月，某校举行“书香校园”图书漂流活动.第一周有10名同学参与，第三周有40名同学参 与.若每周参与人数的增长率相同，则这个增长率为 12.如图，在8×8网格中，若△ABC和△A'B'C位似，则位似中心应为点一 B'R0 13.如图，将△ABC沿CB方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是 试卷第3页（共3页） △ABC的面积的4.已知BC=4,则△ABC平移的距离为： B 14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BD.若∠ABC=60°，BC=4,则 BD的长为 D 15.设a,b是方程x2+x-2026=0的两个实数根，则a+2a+b的值为一 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,P为AB上任意一点，PF⊥AC于P,PE⊥BC 于E,则EF的最小值是 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE⊥BD交BC的延长线于点E. (I)求证：四边形ACED是平行四边形： (2)若AC=CE,DE=4,求BD的长. 18.解方程： x2-x-5(x-x+6=0 试卷第4页（共3页） x+12x2 =1 (2)x2x+1 19.某商店销售A、B两种款式的水杯.已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年九月份A款水 杯的销售额为4800元，B款水杯的销售额为3600元，且B款水杯的销量是A款水杯的1.2倍. (I)求A、B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对A款水杯进行降价促销：已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价比 A款水杯低50%.若A款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；B款水杯售价和销量都和 九月份相同.此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求A款水杯降低了多少元？ 20.如图，在oABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且∠BAO=∠CD0,点E、F分别为OC、BC 的中点，连接EF, B (1)求证：四边形ABCD为矩形： (2②若EF=1.BC=2V5 ABCD 求矩形 的面积。 21.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,点D在BC边上，且DA=DB.若AC=6,BC=9,求线段CD 的长 D 2.在如图的方格纸中，60AB的顶点坐标分别为O(0,0叭A(-2,-1少B(-1-3引，△048与0MB是以 点P为位似中心的位似图形. 试卷第5页（共3页） (1)在图中标出位似中心P的位置： ②)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△0AB △OAB 的一个位似图形 ,使它与△0MB 的位似比 为2：1；并写出点A的对应点A的坐标； △OAB2 (3)求 的面积 23.如图，∠A0B=90°，OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=90°，交OA于点D,交OB于点E. A D E B (I)求证：CD=CE: (2)若OC=3,求OD+OE的长. A D H E B 图1 ∠AOB=909 试卷第6页（共3页） ∴.四边形OGCH为矩形， .∠GCH=90°， .∠DCE=90°=∠GCH, ∴.∠DCG=∠HCE=90°-∠DCH, OC平分∠AOB,CH⊥OB,CG⊥OA .'.CH=CG ,△CGD≌aCHE(ASA) ..CD=CE: 24,如图1，矩形MBCD中，4B=5,BC=9,点E在BC边上，BE=4,点F,G在线段4D上运动 (点F在点G的左侧)，且始终保持FG=BE, B F G D D E 图1 图2 (1)当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长： (2)将△BEF沿EF折叠得到△BEF,连接B'G(如图2)，当以点B,G，E,F为顶点的四边形是矩形 时，求线段DG的长 试卷第7页（共3页） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 3．在菱形 中，对角线相交于点，，，过点作的平行线交的延长线于点，则 的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和勾股定理可得，即得，得到，再证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 5．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 6．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 7．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某同学进行了如下操作：第一步，将矩形纸片按如图①所示的方式折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平；第二步，将图①中的矩形纸片按如图②所示的方式折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由矩形和折叠的性质容易证明四边形是正方形，则，，从而计算出，．在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 8．若方程只有两个实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分当和两种情况讨论，由根的判别式列式计算即可． 【详解】解：当时，方程为，，满足只有两个实数根， 当时，对于方程，即， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 由题意得，方程与方程只有两个实数根， ∴方程没有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是或． 9．如图，在矩形中，，，点P在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、圆外一点到圆上点的距离最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 由矩形性质得，结合，推出，故点在以AB为直径的半圆上；取AB中点，连接OC，由勾股定理得，再根据圆外一点到圆上点的距离最值，得PC的最小值为． 【详解】解：在矩形中，，即． 因为， 所以， 故． 取AB的中点，则，即点在以为圆心、为半径的半圆上． 连接，在中，，， 由勾股定理得：． 根据圆的性质与三角形三边关系得：， 当、、共线时，PC取得最小值（如下图），最小值为． 故选：B． 10．如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，，与交于点，设正方形边长为，根据正方形和得到，，，，，再根据，求出，，接着证明，得到是等腰直角三角形，得到，推出，则四边形为平行四边形，，，最后根据，求出，代入计算即可． 【详解】解：延长至，使，连接，，与交于点， 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．2026年9月，某校举行“书香校园”图书漂流活动．第一周有10名同学参与，第三周有40名同学参与．若每周参与人数的增长率相同，则这个增长率为______． 【答案】 【分析】根据第一周的人数为10名同学，设增长率为x，则第二周为，第三周为，根据已知条件第三周人数，列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设增长率为x，则， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：增长率为． 12．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 13．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 【答案】2 【分析】由平移的性质得，进而得到，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的长，即可求出平移的距离． 【详解】解：设与相交于点， 沿方向平移得到， ， ， ， ， 解得， ． 14．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】首先证明平行四边形是菱形，再利用直角三角形的性质，勾股定理求解即可； 【详解】解：∵平行四边形的对角线相交于点，且， ∴平行四边形是菱形， ∴,， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 15．设是方程的两个实数根，则的值为_____ 【答案】 【分析】利用方程根的定义对所求式子变形降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 16．如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵此时， ∴． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证； （2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1), , , (2), 【分析】（1）利用换元法将看作，用因式分解求出的值，再求解关于的方程即可； （2）利用换元法将看作，则原方程为，可转化为一元二次方程，求解出的值，再求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程为， ∴， 解得或， 当时，，即， ∴， 解得， ； 当时，， ∴， 解得， ； 综上，方程的根为， ， ， ； （2）解：， 设， 则原方程为， 整理，得， ∴， 解得或， 当时，，分式有意义， 此时， 整理，得， ∴， 解得， ， 当或时，原分式均有意义， ∴， 是原方程的解； 当时，，分式有意义， 此时， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 综上，方程的根为， ． 19．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 20．如图，在中，对角线、相交于点O，且，点、分别为、的中点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ，，， ， 又， ， ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，推出，结合题意得到，推出，得到，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理求出，进而得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点、分别为、的中点， 为的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得， ． 21．如图，在中，，点D在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】证明，可得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 解得． 22．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；并写出点A的对应点的坐标； (3)求的面积 【答案】(1) (2)，点的坐标为； (3) 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点P，点P即为所求点； （2）根据图形中点的位置，直接写出坐标即可； （3）利用割补法求解即可 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：的面积 23．如图，，平分，以C为顶点作，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）作，易得四边形为矩形，证明，即可得证； （2）根据正方形的性质，结合全等三角形的性质，推出，勾股定理求出的长，即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知：四边形为矩形，，， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 24．如图1，矩形中，，，点在边上，，点，在线段上运动（点在点的左侧），且始终保持． (1)当四边形是菱形时，求线段的长； (2)将沿折叠得到，连接（如图2），当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，求线段的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）因为四边形是矩形，所以，；由四边形是菱形可得；在中，利用勾股定理算出的值，即可求出线段的长； （2）由沿折叠得到，即；以点，，，为顶点的四边形是矩形，分情况讨论 .情况一：，利用三角形等面积法和勾股定理联立方程组解出线段的值，再利用在中的勾股定理计算出的值，即可求出线段的长；情况二：当时，四边形是矩形，又因为以点，，，为顶点的四边形是矩形，从而得出，，即可求出线段的长. 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴； 在中，有， ∴， ∴； （2）解：∵沿折叠得到， ∴， ∵点，，，为顶点的四边形是矩形， ∴情况一：，如图： 过点作于， ∴， ∵， ∴即， ∴①， ∵在中，有， ∴②， 联立①②得， 解得或； 在中，有， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴； 即线段的长为或； 情况二：当时，四边形是矩形，如图： ∴， ∵， ∴， 即线段的长为或或 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $