专题01 相似三角形10大题型63题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材湘教版

专题01 相似三角形 基础·固本强基 题型1 线段的比与比例的基本性质 题型2 平行线分线段成比例 题型3 相似图形的概念与相似比 题型4 相似三角形的判定综合（重点） 提升·进阶突破 题型5 相似三角形的性质 题型6 一线三等角与 K 字型相似（重点） 题型7 相似三角形的实际应用 拔高·压轴破难 题型8 动态几何中的相似（难点） 题型9  “手拉手”模型（旋转相似综合）（难点） 题型10 探究型与新定义型相似问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 线段的比与比例的基本性质（共8小题） 【模型】统一单位求比值模型；比例基本性质模型（ ） 【步骤】 ① 求比前先统一长度单位；② 写成比或分数形式化简；③ 用到比例时套用"两内项之积等于两外项之积"或合比、等比性质变形。 【易错】 ① 单位未统一（如 1cm 与 10mm 直接比成 1:10）；② 线段的比与比的前后项顺序弄反；③ 合比、等比性质应用时加减项写错。 1．（26-27九年级上·四川·期中）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的黄金分割点， ∴，即， ∴． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 5．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 6．（26-27九年级上·四川·期中）若，则_______． 【答案】/ 【分析】根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·甘肃·期中）若，则______． 【答案】 【分析】根据比例的性质，设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴． 8．（26-27九年级上·宁夏·期中）若，则____________． 【答案】/0.5 【分析】本题将原分式拆成同分母的两个分式的差，再代入计算． 【详解】解：． 题型2 平行线分线段成比例（共6小题） 【模型】  平行线截比例模型（"上比下、上比全、下比全"对应成比例）。 【步骤】 ① 确认哪几条直线互相平行；② 找出被截的几条直线及对应线段；③ 按"对应线段成比例"列出比例式求解。 【易错】  ① 对应线段找错位（把不同截线上的线段乱配）；② 在"三角形一平行线"基本图形中混淆"平行线截得的比"与"侧边上的比"。 9．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，已知，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴； 无法得到，； 故只有选项D正确. 10．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 【答案】3 【分析】三条平行线截两条直线，对应的线段比值相等，得到和的比等于和的比，算出长度是的 2 倍；由与两段组成，总长为 9，也就是 3 份等于 9，求出长是 3． 【详解】解：已知直线，，，． 根据平行线分线段成比例定理： 得到，， 又因为，，把代入得： 故答案为：3． 【点睛】 11．（26-27九年级上·四川·期中）△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 【答案】6或 【分析】分点P在边上和点P在边的延长线上两种情况，分别画出图形，利用平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【详解】解：如图1，当点P在边上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 如图2，当点P在边的延长线上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为6或． 12．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 13．（2026·西藏·中考真题）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，则线段的长度是______． 【答案】 7 【分析】根据尺规作图痕迹可知是线段的垂直平分线，可得且为中点，结合证得，利用平行线分线段成比例定理得，得是的中位线，运用三角形中位线定理求解． 【详解】由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 14．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，已知直线，直线和被直线，，所截，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系，先求出未知线段的长度，再通过计算得到的长． 【详解】解：， ， 将，，代入得，， 解得， ． 题型3 相似图形的概念与相似比（共5小题） 【模型】形同大小异模型（对应角相等、对应边成比例）。 【步骤】  ① 判断形状是否相同、大小是否不同；② 找出对应顶点，写出对应边与对应角；③ 用对应边之比求相似比（注意顺序与方向）。 【易错】① 把"全等"误排除在相似之外（全等是相似比为1的特例）；② 相似比带顺序性，  与   的比和   与   的比互为倒数，写反即错。 15．（26-27九年级上·辽宁·期中）现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】如果与它形状一样且比它大，长与宽都增加一倍，所以长变成2×2=4张，宽变成2张，一共使用了8张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最少，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是 （张）． 16．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 【答案】 【分析】由相似多边形的性质得出，，再由四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，， ∴． 17．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，四边形四边形，则的度数是____________． 【答案】/度 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 18．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比求出相似比，再根据周长比等于相似比列出比例式解答即可． 【详解】解：设五边形的周长为， ∵五边形与五边形的面积比为， ∴相似比为， ∴五边形与五边形的周长比为， 即， 解得， 即五边形的周长为． 19．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，结合已知与的倍数关系和的长度，即可计算的长． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ ∵， ∴ 把代入比例式得， 解得． 题型4 相似三角形的判定综合（共5小题） 【模型】 判定定理模型：两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。 【步骤】 ① 观察已知条件偏向角还是边；② 选最省力的判定定理；③ 规范书写对应顶点顺序，得出相似结论。 【易错】① "两边成比例"时用的不是夹角（SSA 不能判定相似）；② 对应顶点顺序写错，导致后续比例式全部错位。 20．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】 图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】略 21．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【答案】(1) 解： ， 证明：∵， 又， ∴， ∴ ， (2) 或者 （答案不唯一）， 解： ，证明如下， ∵ ， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 即 又∵， ∴, 同理可得，即 又∵ ∴ ． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据三角形的外角的性质结合已知得出，进而根据两角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据为线段的中点，得出，根据得出则，根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 22．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 相似．理由如下： ， ． (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得． 又， ． 23．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】 证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】略 24．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】 证明： ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】略 提升·进阶突破 题型5 相似三角形的性质（共9小题） 【模型】性质链模型：相似 → 对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比  ，面积之比等于  。 【步骤】① 先确认相似关系并求出相似比  ；② 区分所求是"线段比（ ）"还是"面积比（ ）"；③ 列比例式代入求解。 【易错】① 把周长比与面积比混用（面积比误写成   而非  ）；② 已知面积比反推相似比时忘记开平方。 25．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，、分别是的边、上的点，，若与交于点，，则__________． 【答案】 【分析】由推出，得到，再由得，推出，得到，两个三角形与同高，面积之比等于底边长之比． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 与同高， ． 26．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ， ， ∵， ， ， ∵， ，， ， ． 27．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可得，过点E作于点F，则，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一计算即可． 【详解】解：矩形中，∵， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作于点F，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（26-27九年级上·四川·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 【答案】2 【分析】由平移的性质得，进而得到，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的长，即可求出平移的距离． 【详解】解：设与相交于点， 沿方向平移得到， ， ， ， ， 解得， ． 29．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，用勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， （）， 是的中点， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， （）， （）． 30．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 31．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ， ， . 【分析】由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 ；由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】略 32．（26-27九年级上·四川·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，分别交，于点，，过点作于，交线段于． (1)若 ，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图所示： 由正方形的对角线相互垂直平分可知，，则， 在正方形中，对角线平分，则， 是的一个外角， ， ， ， ， ，则， ， ， ． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、正方形对角线平分对角得到相关角度，数形结合表示出，代入值计算后，再由直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由正方形性质得出相关角度及，推出，进而由三角形相似的判定与性质得出，恒等变形即可得证． 【详解】（1）解：在中，，则， 在正方形中，对角线平分，则， ， ， ， 在中，； （2）略 题型6 一线三等角与 K 字型相似（共4小题） 【模型】 【步骤】 ① 在同一直线上识别三个相等的角（常含直角）；② 用"两角相等"证出两个三角形相似；③ 用对应边成比例求未知线段。 【易错】  ① 没抓住"等角、的余角也相等"导致对应关系错乱；② 把斜边与直角边错误对应，比例式失配。 33．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 【详解】．理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ． 34．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点是上一点，点F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由矩形的性质和余角性质可得，，据此即可求证； （）由勾股定理可得，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 35．（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段检测）【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 【答案】 （1）证明：， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ； （2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质得，结合，则，证明，即可作答． （2）先由等边三角形的性质得，再结合，得，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）因为，，则 所以，则，得，解得，故．即可作答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2）∵为等边三角形， ， ， ， ， ． ， ∴， 即， 解得； （3）， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又 ， ． 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明． 【详解】略 题型7 相似三角形的实际应用（共8小题） 【模型】间接测量模型（利用影长、标杆、镜面反射构造相似）。 【步骤】  ① 把实物抽象为相似三角形几何图；② 找对应边（同一时刻物高∶影长为定值）；③ 列比例式求高度、宽度等不可直接测量的量。 【易错】 ① "同一时刻"条件未用上，误用不同时间的影长；② 镜面反射时漏掉入射角等于反射角这一隐含相似条件；③ 单位不统一导致结果错误。 37．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 38．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 39．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 40．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 41．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 42．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：在四边形中，， 四边形是平行四边形， ． (2)的长度为． 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，进而得到． （2）先证明四边形是矩形，再利用相似三角形的判定定理证明出，根据相似三角形的性质建立比例式，最后结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， ． 43．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 44．（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部 的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 拔高·压轴破难 题型8 动态几何中的相似（共6小题） 【模型】 分类讨论与函数建模模型（动点使三角形相似存在多种对应）。 【步骤】 ① 用含时间   的式子表示相关线段；② 按顶点对应的不同情况分类，分别列相似比例式；③ 解出  ，并将面积等表示为   的函数求最值。 【易错】  ① 只考虑一种对应关系导致漏解；② 求出的   超出运动范围（取值实际意义未检验）而多解。 45．（2023·四川巴中·一模）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 46．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 47．（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 48．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 49．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题： (1)当t为何值时平行于； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2) 解：不存在， ∵已知中，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的周长平分； (3)或 【分析】本题考查相似三角形的应用、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解； （2）先利用勾股定理求得，进而求得的周长和，进而可得结论； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 答：当时，平行于； （2）略 （3）解：当时，由（1）知，； 当时，，则， 解得， 综上，当t为或时，与相似． 50．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发；其中点P以的速度沿向终点B移动，点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)含x的代数式表示的长度； (2)x为何值时，为等腰三角形？当和相似时，求此时x的值． 【答案】(1) (2)；当和相似时，x的值为或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程=速度×时间，分别表示出的长度； （2）由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值；设经过x秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：与，再根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由运动可知：， ∴． （2）解：， 为等腰三角形， ， ， ∴． ∴当时，为等腰三角形． ∵， 当时，两三角形相似，此时， 解得； 当时，两三角形相似，此时， 解得， 综上所述，满足条件的x的值为或． 题型9 “手拉手”模型（旋转相似综合）（共3小题） 【模型】 【步骤】 ① 识别“共顶点、等顶角”结构，明确旋转中心；② 通过“加/减公共角”证出新的等角，利用 SAS 判定出“手拉手”全等或相似三角形；③ 运用对应边相等/成比例、对应角相等的结论，推导线段关系或结合勾股定理求值。 【易错】 ① 找错对应边，违背“左手拉左手、右手拉右手”原则；② 混淆全等与相似，在相似模型中错误得出线段相等而非成比例；③ 忽略旋转方向，导致对应角关系弄反。 51.（26-27九年级上邵阳·阶段检测）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 【答案】(1)①=；②2； (2) 根据题意可知， ∴， ； (3)； (4)7或． 【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可； 对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可； 对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案． 【详解】（1）①；②2． 根据勾股定理，得． 根据题意，可知， ∴，， ∴， 解得， 所以点A到的距离是2． 故答案为：，2； （2）略 （3）如图，连接， ， 则． ， ． ， 则． ∵，，， ∴ ． 又 ． 又 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理，得， ． （4）7或． 由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知， ， ，在取点，使得， ． 设，则， 由， 得， 解得 ∴点平移的距离为， 平移所用的时间为， 故当平移到点落在上时，所运动的总时间为． 综上所述，的值为7或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键． 52.（26-27九年级上·衡阳·阶段检测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1) 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； (2) 证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）略． （2）略． 53.（26-27九年级上·娄底·阶段检测）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 题型10 探究型与新定义型相似问题（共10小题） 【模型】规则转化与归纳猜想模型（给定新概念如"近似相似比"或要求探究特殊角度）。 【步骤】 ① 准确理解题目新定义的判定条件或比值规则；② 把它转化为常规的相似判定 / 比例式；③ 计算前几项或特例归纳规律并验证。 【易错】① 照搬熟悉的判定定理，忽略新定义的特殊门槛；② 探究规律时未验证边界情形，结论以偏概全。 54．（26-27九年级上·四川·期中）按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 【答案】(1)①；② (2)， (3)或 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）证明，即可得结论； （3）分两种情形解直角三角形求出，再利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于， 在和中， ，， ，，， ∴， ， ∴， ， ∴，， ， ∴， ． （3）如图中，作于，连接，则， 在中， ∵，， ， ， ， ， ∵， ， ， 在中，， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， ． 如图，连接，作于， 同理可得，， ， ， ∴， ． 综上所述，点、之间的距离是或． 55．（26-27九年级上·吉林·期中）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线上一个动点，连接，且于点Q，求线段的最小值． 【问题探究】小明发现的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．此时，小明想到可先构造相似三角形，求出的值，再利用相似比求出的最小值．以下是小明的求解过程： 如图①所示，作于点H： 证明过程缺失 ∴． (1)请你将相似前的证明过程补充完整，并直接写出的值为______； (2)【问题解决】如图②，过点O作，且．则线段的最小值为______； (3)【方法应用】如图③，，，，则的最小值为______． 【答案】(1)解：如图① ，作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵； 的值为 (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，证明，可得出的值； （2）由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； （3）过点作，且，连接，过作于点，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图① ，作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小值为， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为； （3）解：过点作，且，连接，过作于点，如图， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 56．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）问题背景： 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： (1)小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2，的度数为_________； 迁移应用： (2)如图3，在中，将边绕点C顺时针旋转，得到，延长到点E，使，连接，求的值； 联系拓展： (3)如图4，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）根据折叠的性质以及邻补角的性质即可解答； （2）如图，过点D作交的延长线于点H．先证明可得，再证明，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （3）如图，连接，根据等腰三角形的性质可得；如图：将绕点B逆时针旋转得到，连接，则，再证明可得易得，然后证明，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得： ∵， ∴，即． （2）如图，过点D作交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴． ∴． （3）解：如图，连接， ∵，点E为的中点， ∴， 将绕点B逆时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中， ． ∴． 57．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 (1)①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 (2)在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 (3)如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 【答案】(1)① ；②； (2) (3)最小值为 【分析】（1）①由已知得到边的比例式，结合旋转与等式性质得到，用两边成比例且夹角相等即可证明；②先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，再利用角的等量代换，证明与夹角是直角，得到垂直关系； （2）借助（1）中相关结论算出的长度，再运用三角形中位线定理求出即可； （3）过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求，用面积法求，勾股定理算出，通过两边对应成比例且夹角相等证明，进而求得，最后依据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】（1）解：① ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵、分别是、中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 如图，延长交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）得， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值，是定点，，当，，三点共线，在线段之间时取等号， ∴最小值． 58．（2026·江西赣州·模拟预测）综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)90，相等，是 (2)解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形； (3)①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②或2 【分析】（1）首先根据正方形的性质证明，结合可证明，进而证明；证明，由全等三角形的性质可得，进一步证明，易得，可证明，即是等腰三角形； （2）首先证明，结合菱形的性质证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，可证明，即是等腰三角形； （3）①作于点，作于点，易得四边形是矩形，证明，，结合相似三角形的性质可得，即可证明结论；②设，则由①得，进而可得，且，，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：略； （3）①证明：略； ②解：设，则由①得， ∵， ∴， 由①可知， ∴， 则， 若，如下图， 则， ∴， 解得（此时，舍去）， ∴； 若，如下图， ∵， ∴， ∴，解得， 此时，舍去； 当时，如下图， 即， ∴ 解得（此时，舍去）， ∴． 综上所述的长为或2． 59．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 60．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 61．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“创新点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“创新点”P为“拔尖创新点”． (1)求函数的图象上所有“创新点”的坐标； (2)若点为“拔尖创新点”，求； (3)若已知关于的一次函数（为整数，）的图象上存在两个不同的“拔尖创新点”、，且满足，试问该函数的图象与坐标轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“创新点”？ 【答案】(1) (2)或或 (3)该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），共个“创新点”． 【分析】（1）根据创新点定义，x和y均为整数，因为是无理数，所以只有当x的系数对应的项为0时，y才能为整数，以此确定x的取值，再代入函数求y； （2）根据拔尖创新点定义，首先确认点的横纵坐标均为整数，因为和均为整数且乘积不为0，所以为整数，设该整数为k，转化为整除问题求解a的可能值； （3）首先根据拔尖创新点定义，为整数，将函数表达式代入该比值，通过分离常数转化为整除问题，得到x与t的关系；再结合的条件，代入函数关系推导t的取值；最后确定t对应的函数表达式，求出函数与坐标轴的交点，枚举交点及围成区域内的整数点，统计创新点个数． 【详解】（1）解：∵是整数， 当时，是一个无理数， ∴时，一定不是整数， 当时，， 即函数的图象上“创新点”的坐标是． （2）∵点为“拔尖创新点” ∴为整数，且，， 即，， 设，即， ∵为整数， ∴， ∴或， ∴或或． （3）设、是两个“拔尖创新点”（ ，，，均为非零的整数）， ∵， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ①若，， 则图象经过点、， ∴该直线解析式为， ∴， 解得， ∵， 故不合题意，舍去； ②若，， 则图象经过点、， ∴该直线解析式为， ∴， 解得， ∵， 故不合题意，舍去； ③若，， 则图象经过点、， 代入函数， ∴，， ∵，均为非零的整数， ∴，， ∴或或， ∵， 且当时，函数解析式为， ∴该函数的图象与坐标轴没有围成平面图形， 故， ∴， ∴， ∴该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有：个“创新点”， ④若，， 则图象经过点、， 代入函数， ∴，， ∵，均为非零的整数， ∴，， ∴或或， 同上，可得，故结论和③相同， ∴该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有个“创新点”． 62．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：（1），，三分点， ，， 解得，， ； （2）点，的“三分点”是点， 点的坐标为，． 将代入得， ， 点在直线的右上方． 与直线没有公共点， 在直线的右上方， 则且， 解得， 的取值范围是． 63．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． $专题01 相似三角形 基础·固本强基 题型1 线段的比与比例的基本性质 题型2 平行线分线段成比例 题型3 相似图形的概念与相似比 题型4 相似三角形的判定综合（重点） 提升·进阶突破 题型5 相似三角形的性质 题型6 一线三等角与 K 字型相似（重点） 题型7 相似三角形的实际应用 拔高·压轴破难 题型8 动态几何中的相似（难点） 题型9  “手拉手”模型（旋转相似综合）（难点） 题型10 探究型与新定义型相似问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 线段的比与比例的基本性质（共8小题） 【模型】统一单位求比值模型；比例基本性质模型（ ） 【步骤】 ① 求比前先统一长度单位；② 写成比或分数形式化简；③ 用到比例时套用"两内项之积等于两外项之积"或合比、等比性质变形。 【易错】 ① 单位未统一（如 1cm 与 10mm 直接比成 1:10）；② 线段的比与比的前后项顺序弄反；③ 合比、等比性质应用时加减项写错。 1．（26-27九年级上·四川·期中）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·四川·期中）若，则_______． 7．（26-27九年级上·甘肃·期中）若，则______． 8．（26-27九年级上·宁夏·期中）若，则____________． 题型2 平行线分线段成比例（共6小题） 【模型】  平行线截比例模型（"上比下、上比全、下比全"对应成比例）。 【步骤】 ① 确认哪几条直线互相平行；② 找出被截的几条直线及对应线段；③ 按"对应线段成比例"列出比例式求解。 【易错】  ① 对应线段找错位（把不同截线上的线段乱配）；② 在"三角形一平行线"基本图形中混淆"平行线截得的比"与"侧边上的比"。 9．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，已知，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 11．（26-27九年级上·四川·期中）△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 12．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 13．（2026·西藏·中考真题）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，则线段的长度是______． 14．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，已知直线，直线和被直线，，所截，若，，，求的长． 题型3 相似图形的概念与相似比（共5小题） 【模型】形同大小异模型（对应角相等、对应边成比例）。 【步骤】  ① 判断形状是否相同、大小是否不同；② 找出对应顶点，写出对应边与对应角；③ 用对应边之比求相似比（注意顺序与方向）。 【易错】① 把"全等"误排除在相似之外（全等是相似比为1的特例）；② 相似比带顺序性，  与   的比和   与   的比互为倒数，写反即错。 15．（26-27九年级上·辽宁·期中）现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 16．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 17．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，四边形四边形，则的度数是____________． 18．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为______． 19．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 题型4 相似三角形的判定综合（共5小题） 【模型】 判定定理模型：两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。 【步骤】 ① 观察已知条件偏向角还是边；② 选最省力的判定定理；③ 规范书写对应顶点顺序，得出相似结论。 【易错】① "两边成比例"时用的不是夹角（SSA 不能判定相似）；② 对应顶点顺序写错，导致后续比例式全部错位。 20．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 21．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 22．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 23．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 24．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 提升·进阶突破 题型5 相似三角形的性质（共9小题） 【模型】性质链模型：相似 → 对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比  ，面积之比等于  。 【步骤】① 先确认相似关系并求出相似比  ；② 区分所求是"线段比（ ）"还是"面积比（ ）"；③ 列比例式代入求解。 【易错】① 把周长比与面积比混用（面积比误写成   而非  ）；② 已知面积比反推相似比时忘记开平方。 25．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，、分别是的边、上的点，，若与交于点，，则__________． 26．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 27．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 28．（26-27九年级上·四川·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 29．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为________． 30．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 31．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：． 32．（26-27九年级上·四川·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，分别交，于点，，过点作于，交线段于． (1)若 ，求的大小； (2)求证：． 题型6 一线三等角与 K 字型相似（共4小题） 【模型】 【步骤】 ① 在同一直线上识别三个相等的角（常含直角）；② 用"两角相等"证出两个三角形相似；③ 用对应边成比例求未知线段。 【易错】  ① 没抓住"等角、的余角也相等"导致对应关系错乱；② 把斜边与直角边错误对应，比例式失配。 33．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 34．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点是上一点，点F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 35．（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段检测）【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 题型7 相似三角形的实际应用（共8小题） 【模型】间接测量模型（利用影长、标杆、镜面反射构造相似）。 【步骤】  ① 把实物抽象为相似三角形几何图；② 找对应边（同一时刻物高∶影长为定值）；③ 列比例式求高度、宽度等不可直接测量的量。 【易错】 ① "同一时刻"条件未用上，误用不同时间的影长；② 镜面反射时漏掉入射角等于反射角这一隐含相似条件；③ 单位不统一导致结果错误。 37．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 39．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 40．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 41．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 42．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 43．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 44．（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部 的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 拔高·压轴破难 题型8 动态几何中的相似（共6小题） 【模型】 分类讨论与函数建模模型（动点使三角形相似存在多种对应）。 【步骤】 ① 用含时间   的式子表示相关线段；② 按顶点对应的不同情况分类，分别列相似比例式；③ 解出  ，并将面积等表示为   的函数求最值。 【易错】  ① 只考虑一种对应关系导致漏解；② 求出的   超出运动范围（取值实际意义未检验）而多解。 45．（2023·四川巴中·一模）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 46．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 47．（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 48．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 49．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题： (1)当t为何值时平行于； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，与相似？ 50．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发；其中点P以的速度沿向终点B移动，点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)含x的代数式表示的长度； (2)x为何值时，为等腰三角形？当和相似时，求此时x的值． 题型9 “手拉手”模型（旋转相似综合）（共3小题） 【模型】 【步骤】 ① 识别“共顶点、等顶角”结构，明确旋转中心；② 通过“加/减公共角”证出新的等角，利用 SAS 判定出“手拉手”全等或相似三角形；③ 运用对应边相等/成比例、对应角相等的结论，推导线段关系或结合勾股定理求值。 【易错】 ① 找错对应边，违背“左手拉左手、右手拉右手”原则；② 混淆全等与相似，在相似模型中错误得出线段相等而非成比例；③ 忽略旋转方向，导致对应角关系弄反。 51.（26-27九年级上邵阳·阶段检测）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 52.（26-27九年级上·衡阳·阶段检测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 53.（26-27九年级上·娄底·阶段检测）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 题型10 探究型与新定义型相似问题（共10小题） 【模型】规则转化与归纳猜想模型（给定新概念如"近似相似比"或要求探究特殊角度）。 【步骤】 ① 准确理解题目新定义的判定条件或比值规则；② 把它转化为常规的相似判定 / 比例式；③ 计算前几项或特例归纳规律并验证。 【易错】① 照搬熟悉的判定定理，忽略新定义的特殊门槛；② 探究规律时未验证边界情形，结论以偏概全。 54．（26-27九年级上·四川·期中）按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 55．（26-27九年级上·吉林·期中）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线上一个动点，连接，且于点Q，求线段的最小值． 【问题探究】小明发现的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．此时，小明想到可先构造相似三角形，求出的值，再利用相似比求出的最小值．以下是小明的求解过程： 如图①所示，作于点H： 证明过程缺失 ∴． (1)请你将相似前的证明过程补充完整，并直接写出的值为______； (2)【问题解决】如图②，过点O作，且．则线段的最小值为______； (3)【方法应用】如图③，，，，则的最小值为______． 56．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）问题背景： 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： (1)小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2，的度数为_________； 迁移应用： (2)如图3，在中，将边绕点C顺时针旋转，得到，延长到点E，使，连接，求的值； 联系拓展： (3)如图4，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，求的长． 57．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 (1)①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 (2)在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 (3)如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 58．（2026·江西赣州·模拟预测）综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 59．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 60．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 61．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“创新点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“创新点”P为“拔尖创新点”． (1)求函数的图象上所有“创新点”的坐标； (2)若点为“拔尖创新点”，求； (3)若已知关于的一次函数（为整数，）的图象上存在两个不同的“拔尖创新点”、，且满足，试问该函数的图象与坐标轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“创新点”？ 62．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 63．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． $