精品解析：山西太原市第五中学校2026—2027学年度第一学期九年级数学阶段知识落实(2026.10)

太原五中2026—2027学年度第一学期 九年级数学阶段知识落实（2026．10） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】解：原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． ∴C选项符合要求. 2. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形，若对角线，则中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形中位线定理和已知条件可推出，则中点四边形是菱形． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴由三角形中位线定理可得， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形． 5. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到或，进而得到原方程的根为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 【答案】A 【解析】 【分析】本题判断解方程过程中体现的数学思想，解题思路是观察题干中的解法，分析其将问题进行了怎样的转化，进而得到结论． 【详解】解：∵ 题干中将一元二次方程通过因式分解，转化为两个一元一次方程求解，把复杂的高次方程问题转化为已经掌握解法的低次方程问题， ∴ 这种解法体现的数学思想是转化思想． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点， ，，， ， ， 垂直平分线段， ，， ． 7. 设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 8. 如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，若．连接，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得，再分别求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 9. 2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．进馆人次的每天减少率为x，根据“第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次”，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为， 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为16，点在边上，且，点是对角线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求的长，即为的最小值． 【详解】解：连接，交于点，连接，， 正方形的边长为16， ，， ， ， ， 正方形中，点与点关于对称， ， ， 的长即为的最小值，此时点与与的交点重合，最小值为． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程配方后化为的形式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键． 将常数项移项后，等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：将方程移项得： 配方得： 所以． 故答案为：． 12. 根据下表的对应值，可估算方程的一个根的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴可估算方程的一个根的范围是． 13. 已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理和矩形的判定是解题的关键． 根据是等边三角形，得出，证出四边形是矩形，再利用勾股定理求得，进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， 由勾股定理得， ∴的面积． 故答案为：． 14. 今年某小区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在如图长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽是________．     【答案】2 【解析】 【分析】将小路都平移至如图所示的位置列方程即可解答． 【详解】解：如图，将小路平移，设道路的宽是， 根据题意得 解得，（舍去） 即道路的宽为． 15. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，且把绕点顺时针方向旋转得到，延长交于点，连接，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，先由勾股定理求解，然后通过求解，再由求解，最后通过勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点 ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴， 由旋转可得， ∴ ∴点共线， ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：． 移项得， 因式分解得， ∴或， ，． 【小问2详解】 解：． ，，， ， ， ∴，． 17. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ∵ ∴，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理是关键．连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论． 【详解】略 18. 如图，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，两个花圃的面积之和为，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【答案】两个花圃之间的草坪宽度为2米 【解析】 【分析】设草坪的宽度为米，则每个花圃的长为米，每个花圃的宽为米，再根据矩形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设草坪的宽度为米． 由题意，每个花圃的长为米，每个花圃的宽为米． 依题意得，即． 整理得，即． 解得，． 花圃的长， ，故舍去． 答：两个花圃之间的草坪宽度为2米． 19. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与边，分别交于点，． （1）尺规作图：画出折痕．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，则四边形是________．（填写菱形，矩形或者正方形） （3）直接写出的长为________． 【答案】（1） （2）菱形 （3） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线与边，分别交于点，，则即为所求； （2）由折叠的性质可得，再证明，得到，即可证明四边形是菱形； （3）设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由（2）得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 20. 项目式学习 项目主题 探索销售中的定价问题 项目背景 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商场店铺老板（店主）瞄准商机，准备购进“哭哭马+笑笑马”组合套装进行售卖． 市场调研 该老板（店主）以40元/套的成本购进一批“哭哭马笑笑马”，现按60元/套的价格进行销售，平均每天可以卖出100套，为了提高利润，经市场调研发现，组合套装每涨价2元，每天会少卖出5套，且商场规定组合套装的价格不得高于70元/套，设老板（店主）准备将每个套装涨价元… 分析问题 （1）当涨价元时，每个套装“哭哭马笑笑马”的利润为__________元，此时平均每天可卖出__________套． 解决问题 （2）若老板（店主）想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 【答案】（1）， （2）应将售价定为66元/套（即涨价6元） 【解析】 【分析】（1）成本40元/套，售价元/套，故每套利润元；每涨价2元少卖5套，则涨价元少卖套，据此可得答案； （2）根据总利润每套的利润销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每套的利润为元； 此时平均每天可卖出套． 【小问2详解】 解：依题意得． 整理得， 解得，． 售价不得超过70元/套， ，即，故舍去． ，此时售价为（元/套）． 答：应将售价定为66元/套． 21. 阅读材料，并完成相应的任务． 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． （1）任务一： 这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是________（填字母序号即可） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．公理化思想 （2）任务二： 根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解，要求如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． 画出图形： ②根据①所画图形直接写出方程的正数解为________． （3）任务三： 如图2，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．则原矩形最长边的长度为________． 【答案】（1）B （2）①；② （3）6 【解析】 【分析】（1）利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而确定答案； （2）①由可得，画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形；②仿照题干中的求解方法计算即可； （3）设原矩形最长边的长度为，另一边的长度为，根据正方形的面积公式可得，可推出；根据矩形的面积公式可得，可推出，进而得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想； 【小问2详解】 解：①见答案； ②图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为4的小正方形面积之和，即； 得新方程． 因为表示边长， 所以，即． 【小问3详解】 解：设原矩形最长边的长度为，另一边的长度为， ∴外围的大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴， ∴， ∴； ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得或（此时n比m大，不符合题意）， ∴原矩形最长边的长度为6． 22. 综合与探究——探究折叠中的数学问题 问题情境：在矩形纸片中，，，在边上． 猜想证明： （1）如图（1），将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，展平后得到折痕，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），点为中点，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长，交于点，求的长； 拓展延伸： （3）如图（3），点变为边上一动点，仍将沿翻折，点的对应点为点，连接、．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，证明是等腰直角三角形，推出，据此可得结论； （2）由折叠的性质可得，可证明，得到，证明四边形是平行四边形，得到，则； （3）分两种情况：和，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当时，连接，过点F作于点G， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点F作，延长交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2026—2027学年度第一学期 九年级数学阶段知识落实（2026．10） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 4. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形，若对角线，则中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 5. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到或，进而得到原方程的根为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，若．连接，则的度数为（） A. B. C. D. 9. 2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为16，点在边上，且，点是对角线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程配方后化为的形式为________ 12. 根据下表的对应值，可估算方程的一个根的范围是__________． 13. 已知的对角线，相交于点O，是等边三角形，，则的面积等于_____________． 14. 今年某小区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在如图长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽是________．     15. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，且把绕点顺时针方向旋转得到，延长交于点，连接，则的长为________ 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 18. 如图，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，两个花圃的面积之和为，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 19. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与边，分别交于点，． （1）尺规作图：画出折痕．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，则四边形是________．（填写菱形，矩形或者正方形） （3）直接写出的长为________． 20. 项目式学习 项目主题 探索销售中的定价问题 项目背景 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商场店铺老板（店主）瞄准商机，准备购进“哭哭马+笑笑马”组合套装进行售卖． 市场调研 该老板（店主）以40元/套的成本购进一批“哭哭马笑笑马”，现按60元/套的价格进行销售，平均每天可以卖出100套，为了提高利润，经市场调研发现，组合套装每涨价2元，每天会少卖出5套，且商场规定组合套装的价格不得高于70元/套，设老板（店主）准备将每个套装涨价元… 分析问题 （1）当涨价元时，每个套装“哭哭马笑笑马”的利润为__________元，此时平均每天可卖出__________套． 解决问题 （2）若老板（店主）想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 21. 阅读材料，并完成相应的任务． 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． （1）任务一： 这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是________（填字母序号即可） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．公理化思想 （2）任务二： 根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解，要求如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． 画出图形： ②根据①所画图形直接写出方程的正数解为________． （3）任务三： 如图2，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．则原矩形最长边的长度为________． 22. 综合与探究——探究折叠中的数学问题 问题情境：在矩形纸片中，，，在边上． 猜想证明： （1）如图（1），将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，展平后得到折痕，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），点为中点，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长，交于点，求的长； 拓展延伸： （3）如图（3），点变为边上一动点，仍将沿翻折，点的对应点为点，连接、．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $