30.3 正多边形与圆 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.3 正多边形与圆 素养目标 1.知道正多边形与圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形. 重点 正多边形与圆的关系以及圆内接正多边形的画法. 【自主预习】 预学思考 知识点一 正多边形的有关概念 阅读课本30.3第1课时“例”之前的内容,补全下列新知要点: 名称 定义 正多 边形 正多 边形 各边 、各角也 的多边形叫作正多边形  正多 边形 与圆 中心 一个正多边形的外接圆的 叫作这个正多边形的中心  半径 正多边形的外接圆的 叫作正多边形的半径  中心角 正多边形每一边所对的 叫作正多边形的中心角  边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的 叫作正多边形的边心距  知识点二 圆内接正多边形中的有关计算 阅读课本30.3第1课时“思考”及之后的内容,补全下列新知要点: 1.正n边形中角的计算: (1)内角: .  (2)外角: .  (3)中心角: .  2.边心距(边长为a,半径为r): .  知识点三 正多边形的画法 阅读课本30.3第2课时的内容,补全下列新知要点: 1.一般正n边形的画法: 用量角器画一个 的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧 的弧,就得到圆的n个等分点,再顺次连接各等分点,即可得到正n边形.  2.特殊正n边形的画法: 请按照课本中所提供的特殊正多边形的画法,在下面两个圆中分别画出圆内接正方形和正六边形. 自学检测 1.若正n边形的半径等于它的边长,则n的值为 ( ) A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 2.如图,正方形ABCD内接于☉O,点P在上,则∠P的度数为 ( ) A.30°　　　　B.45° C.60°　　　　D.90° 【合作探究】 题型精讲 题型1 正多边形的半径、边长、边心距之间的关系 例1　如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,若正方形的面积等于4,求☉O的面积. 变式训练　正六边形的边心距与边长之比为 .  题型2 与正多边形有关的角的计算 例2　如图1,2,3,…,n,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正(n+2)边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON. (1)求图1中∠MON的度数. (2)图2中∠MON的度数是　　　　,图3中∠MON的度数是　　　　.  (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案) 变式训练　如图,正八边形ABCDEFGH内接于圆O,P是 上任意一点,则∠CPE的度数为 ( ) A.30° B.15° C.60° D.45° 课堂检测 1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,F是上一点,则∠DFC的度数为 ( ) A.72°　　　　B.54° C.36°　　　　D.30° 2.如图,已知☉O内接正六边形ABCDEF的边心距OG=3,则☉O的半径为 .  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 相等　相等　圆心　半径　圆心角　距离 知识点二 1.(1) (2) (3) 2. 知识点三 1.　相等 2.解: 自学检测 1.C　2.B 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:如图,连接OB,OC. ∵正方形的面积为4,∴BC=2. 在Rt△BOC中,OB=OC,根据勾股定理得OB2+OC2=BC2,∴OB2=2, ∴☉O的面积为2π. 变式训练 题型二 例2 解:(1)如图,连接OB,OC. ∵等边△ABC内接于☉O, ∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°. ∵BM=CN,OB=OC, ∴△OBM≌△OCN, ∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90°;72°. (3)∠MON=. 变式训练 D 课堂检测 1.C 2.2 学科网（北京）股份有限公司 $