30.3正多边形与圆（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“正多边形与圆”第1课时，核心内容为正多边形概念、与圆的关系及边长、半径等相关计算。课堂导入先复习一般多边形与圆的关系（不一定有外接圆和内切圆），再引出正多边形，构建前后知识衔接的学习支架。 导学案特色在于合作探究结合生活实例，典例分析融入延安宝塔实际情境，中考演练涵盖多地真题，分层设计巩固练习与当堂检测。通过观察抽象概念培养数学眼光，推理证明与计算发展数学思维，术语应用与实际问题解决提升数学语言表达，助力学生形成应用意识与解题能力。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3正多边形与圆（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 2.理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积。 学习重点： 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 学习难点： 会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积。 二、学习过程 （一）复习引入 对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切.（填“一定”或“不一定”） 对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢? （二）合作探究 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案.你还能举出一些这样的例子吗? 正多边形和圆的关系非常密切. 把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 如图，九边形ABCDEFGHI是⊙O的内接正九边形， ⊙O是正九边形ABCDEFGHI的外接圆. 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 如图，九边形A'B'C'D'E'F'G'H'I'是⊙O的外切正九边形， ⊙O是正九边形A'B'C'D'E'F'G'H'I'的内切圆. 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. ∵====， ∴AB=BC=CD=DE=EA，=3=. ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆. 正多边形的相关概念 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心， 外接圆的半径叫作正多边形的半径， 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角， 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距. 思考 正n边形的一个内角的度数是多少?外角呢?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系? 解：∵正n边形的内角和为(n-2)×180°， ∴正n边形的一个内角的度数是180°-. ∵正n边形的外角和为360°， ∴正n边形的一个外角的度数是. ∵正n边形的一个中心角的度数是， ∴正多边形的中心角与外角的大小关系是相等. （三）典例分析x2−x−56=0 例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6 m的正八边形.求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). 解：如图，连接OA，OB，作AP⊥OB，垂足为P. ∵八边形ABCDEFGH是半径为6 m的正八边形， ∴OA=OB=6，∠AOB==45°. 又△APO为直角三角形， ∴∠OAP=∠AOB. ∴AP=OP. 在Rt△APO中， 由勾股定理，得AP²+OP²=OA². ∴AP=OA=3. 因此，宝塔地基的面积 S=8××OB×AP=8××6×3=72≈101.8(m2). 中考演练1(2026四川内江) 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为（  A  ） A．36° B．45° C．60° D．72° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练3图 中考演练2(2026黑龙江绥化) 如图，有一个亭子，它的地基是边长为4 m的正六边形， 则这个正六边形地基的面积是_24_m2（计算结果保留根号）． 中考演练3(2024江苏连云港(节选)) 如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__2__倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略. （四）巩固练习 1. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?如果是，说明理由；如果不是，举出反例. 解：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 理由如下：（以六边形为例） ∵AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴=====， ∴=4=. ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E=∠F. ∴六边形ABCDEF是正多边形. 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. 反例如下： 如图，矩形ABCD是⊙O的内接多边形， 它的各个内角都相等， 但它不是正多边形. 2.(2025山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   D  ） A．π B．2π C．3π D．4π 3.(2022山东青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在弧AB上，则∠CME的度数为（  D  ） A．30° B．36° C．45° D．60° 4. 分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. （五）当堂检测 1.(2024山东济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ D   ） A．1 B．2 C． D． 2.(2025四川绵阳)如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG． (1)证明：四边形BGEH为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． (1)证明：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴BC=EF=CD=AF=AB=DE，∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC， 又CH=FG， ∴△BCH≌△EFG(SAS)， ∴BH=EG， ∵CD=AF，CH=FG， ∴CD−CH=AF−FG，即DH=AG， ∴△DEH≌△ABG(SAS)， ∴EH=BG， ∴四边形BGEH是平行四边形； (2)解：如图，连接OB，OA，OF， ∵O是正六边形ABCDEF的中心， ∴OB=OA=OF，∠BAF=120°， ∴△AOB≌△AOF(SSS)， ∴∠OAB=∠OAE=∠BAE=60°， ∴△OAB和△OAF都是等边三角形， ∴OB=OA=OF=AB=AF=4，∠AOB=∠AOF=60°， ∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，S△AOB=S△AOF=AB2=4， ∴S扇形BOF==， ∴阴影部分的面积为S扇形BOF−S△AOB−S△AOF=−4−4=−． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题30.3：第1，4，6，7题. B组题：习题30.3：第9，10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3正多边形与圆（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 2.理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积。 学习重点： 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 学习难点： 会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积。 二、学习过程 （一）复习引入 对于一般的多边形，容易知道， 有圆经过它的各个顶点， 有圆与它的各边都相切.（填“一定”或“不一定”） 对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢? （二）合作探究 、 的多边形是正多边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案.你还能举出一些这样的例子吗? 正多边形和圆的关系非常密切. 把一个圆分成 的一些弧，以 为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的 . 如图，九边形ABCDEFGHI是⊙O的 ，⊙O是正九边形ABCDEFGHI的 . 经过 作圆的切线，以 为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的 . 如图，九边形A'B'C'D'E'F'G'H'I'是⊙O的 ，⊙O是正九边形A'B'C'D'E'F'G'H'I'的 . 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. ∵====， ∴ ， . ∴ . 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆. 正多边形的相关概念 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作 ， 外接圆的半径叫作 ， 正多边形每一边所对的圆心角叫作 ， 中心到正多边形的一边的距离叫作 . 思考 正n边形的一个内角的度数是多少?外角呢?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系? （三）典例分析x2−x−56=0 例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6 m的正八边形.求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). 中考演练1(2026四川内江) 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为（     ） A．36° B．45° C．60° D．72° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练3图 中考演练2(2026黑龙江绥化) 如图，有一个亭子，它的地基是边长为4 m的正六边形， 则这个正六边形地基的面积是_ _m2（计算结果保留根号）． 中考演练3(2024江苏连云港(节选)) 如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略. （四）巩固练习 1. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?如果是，说明理由；如果不是，举出反例. 2.(2025山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 3.(2022山东青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在弧AB上，则∠CME的度数为（     ） A．30° B．36° C．45° D．60° 4. 分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. （五）当堂检测 1.(2024山东济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（     ） A．1 B．2 C． D． 2.(2025四川绵阳)如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG． (1)证明：四边形BGEH为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题30.3：第1，4，6，7题. B组题：习题30.3：第9，10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $