30.1.2 第2课时 切线长定理 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

30.1.2 第2课时 切线长定理 素养目标 1.理解切线长的概念,熟记切线长定理的内容,能准确表述定理条件与结论. 2.能运用切线长定理进行简单的线段计算、角度求解与基础几何证明. 3.经历切线长定理的探究推导过程,发展几何直观与逻辑推理核心素养,提升综合运用圆的切线相关知识解决几何问题的能力. 重点 掌握切线长定理,能运用切线长定理进行线段计算与几何证明. 【自主预习】 预学思考 知识点一 圆的切线的作法* 阅读课本本课时开始至“即所求作的切线……”的内容,补全下列新知要点: 圆的切线的作法: 如图,过☉O外一点P作☉O的切线. 1.连接OP,作线段OP的 MN,与OP交于点C.  2.以点C为圆心, 为半径作圆,与☉O相交于A,B两点.  3.作直线 , ,即所求作的切线.  知识点二 切线长的概念 阅读课本本课时“思考”前一个自然段的内容,补全下列新知要点: 我们把经过圆外一点的圆的切线上,这点和 之间线段的 (如知识点一图中的线段PA,PB的长),叫作这点到圆的切线长.  知识点三 切线长定理 阅读课本本课时“思考”至结束的内容,补全下列新知要点: 从圆外一点可以引圆的 条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.  自学检测 1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O相切于A,B两点,C是上任意一点,过点C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E两点,若△PDE的周长为16,则PA的长为 .  【合作探究】 题型精讲 题型1 利用切线长定理进行计算 例1　如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径,CF是☉O的切线,E为切点,点F在AD上,BE是☉O的弦,求△CDF的面积. 变式训练　如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P= °.  题型2 切线长定理的实际应用 例2　如图,△ABC是一张三角形纸片,☉O与三角形三边相切,D是其中的一个切点,已知AD=10 cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为 ( ) A.20 cm B.15 cm C.10 cm D.随直线MN的变化而变化 课堂检测 1.如图,☉O与四边形ABCD四边相切,且AB=10 cm,CD=8 cm,则四边形ABCD的周长为 ( ) A.8 cm　　　　B.10 cm C.18 cm　　　　D.36 cm 2.如图,☉O的半径为3 cm,点P到圆心的距离为6 cm,经过点P引☉O的两条切线,这两条切线的夹角为 °.  3.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点为A,B,BC为☉O的直径,连接AB,AC,OP. 求证:(1)∠APB=2∠ABC; (2)AC∥OP. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.垂直平分线 2.CO(或CP) 3.PA　PB 知识点二 切点　长 知识点三 两　相等　平分 自学检测 1.D　2.8 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:设AF=x. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAB=90°, ∴DA⊥AB, ∴AD是☉O的切线. ∵CF是☉O的切线,E为切点, ∴EF=AF=x, ∴FD=1-x. ∵CB⊥AB, ∴CB 为☉O 的切线, ∴CB=CE, ∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x. 在Rt△CDF中,由勾股定理得到CF2=CD2+DF2, 即(1+x)2=1+(1-x)2, 解得x=, ∴DF=1-x=, ∴S△CDF=×1×=. 变式训练 76 题型2 例2 A 课堂检测 1.D　2.60 3.证明:(1)∵PA,PB是☉O的两条切线, ∴∠APO=∠BPO=∠APB,PA=PB, ∴PO⊥AB,∴∠ABP+∠BPO=90°. ∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB, ∴∠ABP+∠ABC=90°, ∴∠ABC=∠BPO=∠APB,即∠APB=2∠ABC. (2)∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°,即AC⊥AB. 由(1)可知PO⊥AB,∴AC∥OP. 学科网（北京）股份有限公司 $