30.1.2 第1课时　切线的性质与判定 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆的切线”第1课时，核心内容为切线的概念、性质与判定。通过新知要点梳理定理（如判定定理需“经过半径外端且垂直半径”），结合对点小练巩固基础，再以中考典例和举一反三题构建从概念到应用的学习支架，衔接圆的基本性质与几何推理。 资料特色显著，精选中考及期中真题作为典例，技法点拨总结切线判定的两种辅助线方法（连半径证垂直、作垂直证d=r），助力学生提升推理能力与几何直观。素养提升环节引入弦切角定理探究，培养创新意识，引导学生用数学思维分析问题，形成逻辑推理与应用能力。

30.1.2　圆的切线 第1课时　切线的性质与判定 【课时目标】 1.掌握切线的概念.(几何直观、推理能力) 2.掌握切线的性质和判定,并能灵活应用.(运算能力、几何直观、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.判定定理 注意直线经过圆周上一点 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 1.下列四个选项中的表述,正确的是(C) A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 2.性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 2.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 　.  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　切线的判定(推理能力、几何直观) 【典例1】(2025·山东中考)如图,在△OAB中,点A在☉O上,边OB交☉O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线. (1)求证:AB为☉O的切线; (2)若☉O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长. 【自主解答】(1)∵AD⊥OB, ∴∠DAC+∠ACD=90°. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. ∵AC是∠BAD的平分线, ∴∠DAC=∠BAC, ∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°, 即AB⊥OA, 又∵OA为☉O的半径, ∴AB为☉O的切线. (2)∵∠AOB=45°,又AB⊥OA, ∴△OAB为等腰直角三角形. ∵☉O的半径为2, ∴OA=2=OC, ∴OB=OA=2, ∴CB=OB-OC=2-2. 举一反三 (2025·福州期中)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2.4为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线. 【证明】过点O作OC⊥AB于点C,如图, ∵∠AOB=90°,OA=3,OB=4, ∴AB==5, ∵AB·OC=OA·OB,∴OC==2.4, ∵☉O的半径为2.4, ∴OC为☉O的半径,而AB⊥OC, ∴AB是☉O的切线. 技法点拨 与切线的判定有关的两种辅助线 1.已知直线与圆的公共点:连半径(连接该点和圆心),证垂直(证明半径垂直于已知直线),得切线. 2.不知直线与圆的公共点:作垂直(过圆心作直线的垂线段),证d=r(证明垂线段等于半径),得切线. 重点2　切线的性质(运算能力、推理能力) 【典例2】(2025·广东中考)如图,点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC. 【自主解答】连接OD, ∵☉O与边BC相切于点D, ∴OD⊥BC,即∠ODC=90°. ∵△ABC为直角三角形, ∴∠ODC=∠B=90°, ∴OD∥AB,∴∠1=∠3. ∵OD=OA,∴∠1=∠2, ∴∠3=∠2,∴AD平分∠BAC. 举一反三 1.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为2,则BD的长为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.2 C.2 D.4 2.如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D,若∠C=26°,则∠CAD=　32　°.  素养　思维提升　入境深探　 阅读理解 　小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫作弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数. 【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题. (1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C. (2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C. 【解决问题】 (3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠BAC的数量关系:_________　.  【解析】(1)∵PA是☉O的切线,A为切点, ∴∠PAC=90°, ∴∠PAB+∠BAC=90°, ∵AC是直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠C+∠BAC=90°, ∴∠PAB=∠C. (2)作直径AD,连接CD, 由(1)得,∠PAD=∠ACD, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠PAB=∠ACB. (3)连接AE, 由(1)知,∠DBC=∠BAE, ∵AB是直径,∴∠AEB=90°, ∵AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE, ∴∠BAC=2∠CBD. 答案:∠BAC=2∠CBD 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2　圆的切线 第1课时　切线的性质与判定 【课时目标】 1.掌握切线的概念.(几何直观、推理能力) 2.掌握切线的性质和判定,并能灵活应用.(运算能力、几何直观、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.判定定理 注意直线经过圆周上一点 经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线. 1.下列四个选项中的表述,正确的是( ) A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 2.性质定理 圆的切线 过切点的半径. 2.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　切线的判定(推理能力、几何直观) 【典例1】(2025·山东中考)如图,在△OAB中,点A在☉O上,边OB交☉O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线. (1)求证:AB为☉O的切线; (2)若☉O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长. 举一反三 (2025·福州期中)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2.4为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线. 技法点拨 与切线的判定有关的两种辅助线 1.已知直线与圆的公共点:连半径(连接该点和圆心),证垂直(证明半径垂直于已知直线),得切线. 2.不知直线与圆的公共点:作垂直(过圆心作直线的垂线段),证d=r(证明垂线段等于半径),得切线. 重点2　切线的性质(运算能力、推理能力) 【典例2】(2025·广东中考)如图,点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC. 举一反三 1.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为2,则BD的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.2 C.2 D.4 2.如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D,若∠C=26°,则∠CAD= °.  素养　思维提升　入境深探　 阅读理解 　小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫作弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数. 【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题. (1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C. (2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C. 【解决问题】 (3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠BAC的数量关系:_________ .  学科网（北京）股份有限公司 $