30.1.2 第1课时 圆的切线 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

30.1.2 第1课时 圆的切线 素养目标 1.会过圆上一点画圆的切线,通过探索得出切线的性质定理和判定定理. 2.能运用切线的性质定理和判定定理解决有关问题. 3.经历圆的切线性质与判定探究过程,发展几何推理与直观想象素养,能熟练运用切线定理进行简单证明与计算. 重点 切线的性质定理和判定定理. 【自主预习】 预学思考 知识点一 切线的性质定理 阅读课本本课时开始至第二个“思考”之前的内容,补全下列新知要点: 1.圆的切线垂直于过 的半径.  2.与切线性质有关的结论: (1)圆心到切线的距离等于 .  (2)切线和圆有且只有 公共点.  (3)经过圆心且垂直于切线的直线必然经过 .  (4)经过切点且垂直于切线的直线必然经过 .  知识点二 切线的判定定理 阅读课本本课时第二个“思考”及之后的内容,补全下列新知要点: 1.经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线.  2.判定切线的常见方法: (1)定义法:与圆有 公共点.  (2)数量法:圆心到直线的距离 半径的直线就是这个圆的切线.  (3)判定定理法:经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线.  自学检测 1.如图,AB与☉O相切,点A为切点,连接OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA.若∠ABO=32°,则∠ADC的度数为 ( ) A.29°　　　　B.30° C.32°　　　　D.34° 2.如图,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,PC切☉O于点C,PC=3,PB=1,求☉O的半径. 【合作探究】 题型精讲 题型1 切线的性质定理的应用 例1　如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,大圆的弦AB切小圆于点C,求AB的长. 变式训练　两个同心圆,大圆的弦AB切小圆于点C,AB=8,则圆环的面积为 .  题型2 证明一条直线是圆的切线的方法 例2　如图,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE. (1)求证:AE是☉O的切线. (2)已知AE=8 cm,CD=12 cm,求☉O的半径. 【方法归纳交流】上述证切线的方法可简称为“连半径,证垂直”,当直线与圆的公共点不明确时(公共点没有用大写字母表示出来),过圆心作直线的 ,再利用“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”即可证明,简称为“作垂线,证相等”.  课堂检测 1.下列说法中,正确的是 ( ) A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线 2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上一点,DE=DC,以点D为圆心,DB的长为半径作☉D,AB=5,EB=3. (1)求证:AC是☉D的切线. (2)求线段AC的长. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.切点 2.(1)半径　(2)一个　(3)切点　(4)圆心 知识点二 1.外端　垂直 2.(1)一个 (2)等于 (3)外端　垂直 自学检测 1.A 2.解:如图,连接OC.∵PC切☉O于点C,∴OC⊥PC. 设OC=OB=r,则OP=r+1. 在Rt△COP中,根据勾股定理可得r2+32=(r+1)2, 解得r=4,∴☉O的半径是4. 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:如图,连接OA,OC. ∵弦AB切小圆于点C,∴OC⊥AB. 根据垂径定理可得AC=BC. 在Rt△OAC中,根据勾股定理可得AC=4, ∴AB=8. 变式训练　 16π 题型2 例2 解:(1)证明:如图,连接OA. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD. ∵DA平分∠BDE, ∴∠ODA=∠EDA, ∴∠OAD=∠EDA, ∴EC∥OA. ∵AE⊥CD, ∴AE⊥OA. ∵点A在☉O上, ∴AE是☉O的切线. (2)如图,过点O作OF⊥CD,垂足为F. ∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°, ∴四边形AOFE是矩形. ∴OF=AE=8 cm. 又∵OF⊥CD, ∴DF=CD=6 cm. 在Rt△ODF中,OD==10 (cm), 即☉O的半径为10 cm. 方法归纳交流 垂线段 课堂检测 1.B 2.解:(1)证明:如图,过点D作DF⊥AC于点F. ∵AB为☉D的切线, ∴∠B=90°, ∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC,DF⊥AC, ∴BD=DF, ∴AC与☉D相切, ∴AC是☉D的切线. (2)在△BDE和△FDC中, ∵BD=DF,DE=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL), ∴EB=FC. ∵AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC, ∴AC=5+3=8. 学科网（北京）股份有限公司 $