30.2 三角形的内切圆 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.2 三角形的内切圆 素养目标 1.理解三角形的内切圆的相关概念,能准确表述三角形的内切圆、内心的定义,会作任意三角形的内切圆. 2.能运用三角形的内切圆的性质,进行相关线段长度、角度的计算与简单几何问题的求解. 3.经历三角形的内切圆的作图与性质探究的过程,发展应用意识,提升运用几何知识解决综合问题的能力. 重点 掌握三角形的内切圆的定义、内心的概念,以及内切圆的相关性质与简单计算. 【自主预习】 预学思考 知识点一 与三角形三边都相切的圆的作法 阅读课本本课时开始至“☉I即所求作的圆……”的内容,补全下列新知要点: 1.如图,分别作∠ABC,∠ACB的平分线BM,CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都 .  2.如图,过点I作BC的垂线,垂足为D.以点I为圆心,ID的长为半径作圆,则☉I与△ABC的三条边都 ,☉I即所求作的圆.  知识点二 三角形的内切圆、内心的概念 阅读课本本课时“例”及之前一个自然段的内容,补全下列新知要点: 1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的 ,内切圆的圆心是三角形三条 的交点,叫作三角形的 ,这个三角形叫作圆的 .  2.三角形的内心与三角形的外心的区别 图示 名称 内心(三角形内切圆的圆心) 外心(三角形外接圆的圆心) 确定 方法 三角形三个内角 的交点  三角形三边 的交点  性质 ①OA,OB,OC分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB;②OD=OE=OF;③内心 (填“一定”或“不一定”)在三角形的内部  ①OA=OB=OC;②外心 (填“一定”或“不一定”)在三角形的内部  角度 关系 ∠BOC= °+ ∠BAC  ∠BOC= ∠BAC  自学检测 1.下列说法中,正确的是 ( ) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弧所对的圆周角相等 C.三点确定一个圆 D.三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等 2.如图,点O既是△ABC的内心,也是△ABC的外心,若∠AOB=120°,则∠ACB的度数为 .  【合作探究】 题型精讲 题型1 直角三角形内切圆半径的求法 例1　如图,直角三角形的直角边为a,b,斜边为c,内切圆的半径为r,与三边分别切于点D,E,F,请用直角三角形的三边长a,b,c表示内切圆半径r. 【方法归纳交流】若直角三角形的直角边为a,b,斜边为c,则这个直角三角形的内切圆的半径可以表示为 .  变式训练　△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18 cm,BC=28 cm,CA=26 cm,求AF,BD,CE的长. 题型2 三角形的内心与外心 例2　如图,I是△ABC的内心,AI的延长线交△ABC的外接圆于点D. (1)求证:∠BAD=∠CBD. (2)求证:BD=ID. (3)连接BI,CI,求证:D是△BIC的外心. 课堂检测 1.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,P均在格点处,则点D是下列哪个三角形的内心 ( ) A.△ACE B.△ABE C.△APE D.△BCE 2.如图,点O为△ABC的外心,点I为△ABC的内心,若∠BOC=140°,则∠BIC的度数为 ( ) A.140° B.130° C.125° D.110° 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.相等 2.相切 知识点二 1.内切圆　角平分线　内心　外切三角形 2.平分线　垂直平分线　一定　不一定　90　　2 自学检测 1.B　2.60° 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:如图,连接OD,OE.∵☉O是△ABC的内切圆,∴OD⊥BC,OE⊥AC. ∵∠C=90°且CD=CE,∴四边形ODCE是正方形, ∴CD=CE=r, ∴BD=BC-CD=a-r,AE=AC-CE=b-r. 由切线长定理可得BF=BD=a-r,AF=AE=b-r, ∴(a-r)+(b-r)=c, 整理得r=. 方法归纳交流 r=或r= 变式训练 解:根据切线长定理,得 AE=AF,BF=BD,CE=CD. 设AF=AE=x cm, 则CE=CD=(26-x)cm, BF=BD=(18-x)cm. ∵BC=28 cm, ∴(18-x)+(26-x)=28,解得x=8, ∴AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm. 题型2 例2 证明:(1)∵I是△ABC的内心, ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠CBD=∠CAD, ∴∠BAD=∠CBD. (2)如图1,连接BI. 图1 ∵I是△ABC的内心, ∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI. ∵∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI+∠CBD, ∴∠BID=∠IBD, ∴ID=BD. (3)如图2,连接DC. 图2 ∵∠BAD=∠CAD, ∴=, ∴BD=CD, ∴BD=CD=ID, ∴D是△BIC的外心. 课堂检测 1.B　2.C 学科网（北京）股份有限公司 $