30.2 三角形的内切圆（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内切圆”，涵盖内切圆、内心、切点、半径等核心概念，性质（内心为角平分线交点）、尺规作图及半径与面积关系（r=2S/l）。课堂导入通过“三角形木料截最大圆形木板”情境，温故角平分线性质，从圆心到三边距离相等切入，搭建前后知识联系的学习支架。 导学案以“观察—猜想—证明—归纳”探究过程为主线，用面积分割法推导半径公式渗透转化思想，结合典型例题与中考真题，培养几何直观和推理能力。自主与合作探究结合，助力学生用数学思维分析问题，用数学语言表达结论，提升数学核心素养。

30.2 三角形的内切圆 （导学案） （1）理解三角形的内切圆、内心、切点、内切圆半径的概念，掌握三角形内切圆的基本性质；掌握三角形内心是三条角平分线交点的性质，会作三角形的内切圆（尺规作图）；掌握内切圆半径与三角形面积的关系式，并能利用该关系式及相关知识进行计算与证明. （2）经历"观察图形—猜想性质—逻辑证明—归纳结论"的完整探究过程，提升几何猜想与推证能力；通过面积分割法推导内切圆半径公式，体会转化思想，掌握用"整体—部分"关系解题的方法. （3）在解决实际问题（覆盖木料等）中，感受数学来源于生活、服务于生活的价值，激发学习兴趣；在严谨的推理与作图过程中，培养严谨细致、实事求是的数学思维品质，增强几何学习自信心. 重点：三角形的内切圆、内心、内切圆半径的概念及性质；三角形内切圆的尺规作图方法；内切圆半径与三角形面积关系式的理解与应用. 难点：理解"内心是三角形三条角平分线的交点"的性质并完成推证；用面积分割法推导内切圆半径与面积、周长的关系式；综合运用内切圆知识解决含周长、面积、线段多知识点融合的题型. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题情境：一块三角形的木料，要在上面截一个最大的圆形木板（圆盘），应如何确定圆心和半径？ 教师追问：如何确定这样的圆的圆心？圆心需要满足什么条件？引出探究需求. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ158－159内容 【学法指导】自研课本Ｐ158－159内容 （一）三角形内切圆的概念与作法 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 引导分析：圆与三角形三边都相切，即圆心到三边距离都等于半径.由角平分线性质，到角两边距离相等的点在角平分线上. 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径.如何确定这个圆的圆心和半径呢? 归纳概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，内切圆的半径叫做三角形的内切圆半径. （二）内切圆半径与面积关系推导 问题引导：已知三角形的内切圆半径r和三边，能否求三角形的面积？ 师生共同推证： 归纳结论：=（a+b+c）r=（r为内切圆半径，为三角形周长），变形可得r=2. 自研课本Ｐ158－159内容 典型例题 例1. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 例2.如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是三角形的内切圆，如何作三角形的内切圆？ 2.讨论三角形的内切圆的半径与三角形的周长、面积的关系？ 1.如图，在中，，的角平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E，F． (1)试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若，，求⊙O的半径． 课本课堂练习P159 1．（2026菏泽·统考）如图，在中，内切圆与边，，分别切于点，，．求证：．    2．（2026·聊城统考）如图，是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，若，求的度数．    知识技能：（1）核心概念：三角形的 、 、 、 ；（2）核心性质：内心到 相等，内切圆半径r= ；（3）尺规作图： ；（4）必会应用： 、 、 、 . 思想方法：（1）转化思想： ；（2）面积分割法： ；（3）模型化思想： . 易错提醒：（1）概念混淆： 与 不可混用，内心是 交点、外心 交点；（2）公式误用：内切圆半径公式中l是 ，不是 ， ；（3）作图疏漏： ；（4）推理漏洞： . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆 （导学案） （1）理解三角形的内切圆、内心、切点、内切圆半径的概念，掌握三角形内切圆的基本性质；掌握三角形内心是三条角平分线交点的性质，会作三角形的内切圆（尺规作图）；掌握内切圆半径与三角形面积的关系式，并能利用该关系式及相关知识进行计算与证明. （2）经历"观察图形—猜想性质—逻辑证明—归纳结论"的完整探究过程，提升几何猜想与推证能力；通过面积分割法推导内切圆半径公式，体会转化思想，掌握用"整体—部分"关系解题的方法. （3）在解决实际问题（覆盖木料等）中，感受数学来源于生活、服务于生活的价值，激发学习兴趣；在严谨的推理与作图过程中，培养严谨细致、实事求是的数学思维品质，增强几何学习自信心. 重点：三角形的内切圆、内心、内切圆半径的概念及性质；三角形内切圆的尺规作图方法；内切圆半径与三角形面积关系式的理解与应用. 难点：理解"内心是三角形三条角平分线的交点"的性质并完成推证；用面积分割法推导内切圆半径与面积、周长的关系式；综合运用内切圆知识解决含周长、面积、线段多知识点融合的题型. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题情境：一块三角形的木料，要在上面截一个最大的圆形木板（圆盘），应如何确定圆心和半径？ 学生思考、小组讨论，初步感知：需要找一个圆，使它与三角形三边都相切. 教师追问：如何确定这样的圆的圆心？圆心需要满足什么条件？引出探究需求. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ158－159内容 【学法指导】自研课本Ｐ158－159内容 （一）三角形内切圆的概念与作法 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 引导分析：圆与三角形三边都相切，即圆心到三边距离都等于半径.由角平分线性质，到角两边距离相等的点在角平分线上. 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径.如何确定这个圆的圆心和半径呢? 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心，圆心到任意一边的距离即这个圆的半径.这样，用直尺和圆规就可以作出与三角形三条边都相切的圆. 如图，分别作∠B，∠C的平分线BM,CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等. 过点I作BC的垂线，垂足为D.以点I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，⊙I即所求作的圆. 归纳概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，内切圆的半径叫做三角形的内切圆半径. （二）内切圆半径与面积关系推导 问题引导：已知三角形的内切圆半径r和三边，能否求三角形的面积？ 面积分割法推导：连接内心O与三个顶点，将三角形分割为三个以三边为底、内切圆半径为高的小三角形. 师生共同推证： 设 △ABC三边为a、b、c，内切圆半径r，内心为O. 则=++ O为内心，圆心到三边距离均等于r，所以 =，=，=， 所以 =++=++=（a+b+c）r= 其中=a+b+c为三角形周长. 归纳结论：=（a+b+c）r=（r为内切圆半径，为三角形周长），变形可得r=2. 自研课本Ｐ158－159内容 典型例题 例1. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 【分析】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，由切线长定理知：AF=AE，BD=BF，CD=CE，可以求出AF，BD，CE的长. 【详解】解:设AF=x，则AE=x. 则BD=BF=AB-AF=9-x, CD=CE=AC-AE=13-x. 由BD+CD=BC，可得 (9-x)+(13-x)=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 例2.如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求． （2）设，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求． （2）连接，． 是的内切圆，，，是切点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，设， 在中，， ， ， ． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是三角形的内切圆，如何作三角形的内切圆？ 2.讨论三角形的内切圆的半径与三角形的周长、面积的关系？ 1.如图，在中，，的角平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E，F． (1)试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若，，求⊙O的半径． 【详解】（1）解：与⊙O相切，理由如下， 证明：连接， ∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与⊙O相切； （2）解：在 中设半径为r，根据勾股定理可得， ， ∵，， ∴ ， 解得． 课本课堂练习P159 1．（2026菏泽·统考）如图，在中，内切圆与边，，分别切于点，，．求证：．    【详解】证明：如图所示，连接，    ∵内切圆与边，，分别切于点，，． ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴． 2．（2026·聊城统考）如图，是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，若，求的度数．    【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆，与分别相切于点D，E，F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 知识技能：（1）核心概念：三角形的内切圆、内心（角平分线交点）、切点、内切圆半径；（2）核心性质：内心到三边距离相等，内切圆半径r=2S/；（3）尺规作图：角平分线交点定圆心，垂直定半径；（4）必会应用：内切圆作图、半径与面积、周长计算、简单证明. 思想方法：（1）转化思想：将"与三边相切"转化为"到三边距离相等"问题，将圆问题转化为三角形问题；（2）面积分割法：用整体—部分关系推导半径公式，渗透整体思想；（3）模型化思想：建立三角形内切圆几何模型，实现作图、计算、证明方法迁移. 易错提醒：（1）概念混淆：内心（内切圆圆心）与外心（外接圆圆心）不可混用，内心是角平分线交点、外心是垂直平分线交点；（2）公式误用：内切圆半径公式中l是三角形周长（三边和），不是单边，需准确代值；（3）作图疏漏：尺规作图要保留作图痕迹，垂直、平分线作法要规范；（4）推理漏洞：计算、证明要写明依据，直角三角形勾股求解不可跳步. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $