30.1.2圆的切线（第2课时 切线长定理 ）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆的切线（第二课时：切线长定理）”，引导学生区分切线与切线长概念，掌握切线长定理及双切线模型隐含结论。通过回顾切线性质与判定定理，结合动手画图观察过圆外一点作切线的数量及角度关系，构建旧知到新知的学习支架。 导学案以“观察—操作—猜想—证明—归纳”完整探究过程为主线，培养学生几何猜想与逻辑推证能力。自主学习与合作探究结合，例题习题涵盖线段求值、角度计算及实际测量问题，渗透模型化与数形结合思想，提升抽象能力、推理意识和应用意识，助力学生形成严谨数学思维品质。

30.1.2 圆的切线（第二课时：切线长定理） （导学案） (1)准确区分切线与切线长的概念，掌握切线长的定义.理解并熟练掌握切线长定理的内容，能准确写出定理文字语言、图形语言、符号语言.能利用切线长定理解决线段求值、角度计算、简单几何证明问题，掌握双切线基本几何模型的隐含结论. （2）经历“观察图形—动手操作—猜想结论—全等证明—归纳定理”的完整探究过程，提升几何猜想与逻辑推证能力.通过例题探究与模型归纳，学会挖掘图形隐含条件，掌握圆双切线问题的通用解题思路. （3）在定理探究与几何建模中，感受圆的轴对称几何美感，激发几何学习兴趣.在严谨的推理论证、规范解题过程中，养成实事求是、严谨细致的数学思维品质. 重点：切线长的定义，切线长定理的理解与应用（线段相等、角度计算、简单证明）. 难点：区分切线（直线，不可度量）与切线长（线段，可度量）的概念；挖掘双切线图形中的隐含垂直、全等、角平分、线段相等综合关系；综合运用切线性质、全等三角形、切线长定理解决综合题型. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 回顾旧知：提问切线的性质定理、判定定理核心内容，梳理单条切线的核心结论（切线垂直于过切点的半径）. 操作设问：过圆上一点可作几条切线？过圆外一点可以作圆的几条切线？ 学生动手画图：过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点） (1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2）以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； (3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 观察图形猜想：PA与PB、∠APO与∠BPO有何数量关系？ 引出课题：本节课探究圆外一点双切线的数量与角度规律——切线长定理. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ152－154内容 【学法指导】自研课本Ｐ152－154内容 探究点1 切线长概念辨析 定义归纳：切线长：从圆外一点引圆的切线，这点到切点之间的线段的长度，叫做圆的切线长. 概念对比辨析： 切线：是直线，无限延伸、不可度量长度； 切线长：是线段，两个端点分别为圆外定点与切点、可度量长度. 探究点2　切线长定理推导证明 几何猜想：如图，PA、PB切⊙ O于A、B两点，则PA=PB，∠APO=∠BPO。 自主证明：学生独立思考，小组合作完成证明，教师引导辅助线做法：连接OA、OB. 师生规范推证： 证明：∵ PA、PB是⊙O的切线 ∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质定理） ∴∠OAP=∠OBP=90° 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL) ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 归纳切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言固化：若PA、PB切⊙O于A、B，则PA=PB，∠APO=∠ BPO. 模型拓展隐含结论：双切线模型中，OP垂直平分弦AB，图形关于直线OP轴对称. 【自研自探】 自研课本Ｐ152－154内容 典型例题 例1 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，∠APB=60°，OA=3，求△PAB周长. 【分析】本题为切线长定理与直角三角形、特殊角综合计算题.解题思路：利用切线性质得直角，结合切线长定理得角平分线，推出特殊直角三角形，利用勾股定理或特殊直角三角形性质求解线段长.核心是切线性质定理、切线长定理、直角三角形边角关系. 【详解】解：∵PA是⊙O的切线，A为切点， OA⊥PA，即∠OAP=90°（切线的性质定理） ∵PA、PB是⊙O切线 ∠APO=∠APB（切线长定理） ∵∠APB=60° ∴∠APO=30° 在Rt△OAP中，∠APO=30°，OA=3 ∴OP=2OA=6 由勾股定理得： PA===3 ∵∠APB=60°，PA=PB ∴△PAB为等边三角形， ∴△PAB周长为3×3=9. 答：△PAB周长为9. 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，求铁环的半径． 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是切线长？ 2.讨论什么是切线长定理？ 3.讨论如何证明切线长定理？ 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【详解】【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 课本课堂练习P154 1．（25-26陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 2．（2026.珠海校考）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴. 3．（2026·内江·模拟）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【详解】（1）证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 知识技能：（1）核心概念：切线（直线，不可度量）、切线长（线段，可度量）；（2）切线长定理：圆外一点引圆两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分切线夹角；（3）核心模型：双切线模型三大结论：PA=PB、∠APO=∠BPO、OP⊥AB.（4）必会应用：线段求值、角度计算、简单几何证明. 思想方法：（1）数形结合思想：依托几何图形挖掘边角关系，实现图形与数量条件互通；（2）转化思想：将圆的切线问题转化为直角三角形、全等三角形问题求解；（3）模型化思想：归纳双切线固定几何模型，实现题型归类、方法迁移. 易错提醒：（1）概念混淆：切勿将“切线”和“切线长”混用，分清直线与线段的区别；（2）定理漏条件：切线长定理只适用于圆外一点引两条切线的情况；（3）审题疏漏：解题易忘记“切线垂直于过切点半径”的隐含直角条件；（4）推理漏洞：直接套用结论不写依据，几何证明、计算步骤不规范. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 圆的切线（第二课时：切线长定理） （导学案） (1)准确区分切线与切线长的概念，掌握切线长的定义.理解并熟练掌握切线长定理的内容，能准确写出定理文字语言、图形语言、符号语言.能利用切线长定理解决线段求值、角度计算、简单几何证明问题，掌握双切线基本几何模型的隐含结论. （2）经历“观察图形—动手操作—猜想结论—全等证明—归纳定理”的完整探究过程，提升几何猜想与逻辑推证能力.通过例题探究与模型归纳，学会挖掘图形隐含条件，掌握圆双切线问题的通用解题思路. （3）在定理探究与几何建模中，感受圆的轴对称几何美感，激发几何学习兴趣.在严谨的推理论证、规范解题过程中，养成实事求是、严谨细致的数学思维品质. 重点：切线长的定义，切线长定理的理解与应用（线段相等、角度计算、简单证明）. 难点：区分切线（直线，不可度量）与切线长（线段，可度量）的概念；挖掘双切线图形中的隐含垂直、全等、角平分、线段相等综合关系；综合运用切线性质、全等三角形、切线长定理解决综合题型. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 回顾旧知：提问切线的性质定理、判定定理核心内容，梳理单条切线的核心结论（切线垂直于过切点的半径）. 操作设问：过圆上一点可作几条切线？过圆外一点可以作圆的几条切线？ 学生动手画图： 观察图形猜想：PA与PB、∠APO与∠BPO有何数量关系？ 引出课题：本节课探究圆外一点双切线的数量与角度规律——切线长定理. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ152－154内容 【学法指导】自研课本Ｐ152－154内容 探究点1 切线长概念辨析 定义归纳：切线长：从圆外一点引圆的切线，这点到切点之间的线段的长度，叫做圆的切线长. 概念对比辨析： 切线：是直线，无限延伸、不可度量长度； 切线长：是线段，两个端点分别为圆外定点与切点、可度量长度. 探究点2　切线长定理推导证明 几何猜想：如图，PA、PB切⊙ O于A、B两点，则PA=PB，∠APO=∠BPO。 自主证明：学生独立思考，小组合作完成证明，教师引导辅助线做法：连接OA、OB. 师生规范推证： 归纳切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言固化：若PA、PB切⊙O于A、B，则PA=PB，∠APO=∠ BPO. 模型拓展隐含结论：双切线模型中，OP垂直平分弦AB，图形关于直线OP轴对称. 【自研自探】 自研课本Ｐ152－154内容 典型例题 例1 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，∠APB=60°，OA=3，求△PAB周长. 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，求铁环的半径． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是切线长？ 2.讨论什么是切线长定理？ 3.讨论如何证明切线长定理？ 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 课本课堂练习P154 1．（25-26陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（  ） A． B． C． D． 2．（2026.珠海校考）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 3．（2026·内江·模拟）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 知识技能：（1）核心概念：切线（ ， ）、切线长（ ， ）；（2）切线长定理： ；（3）核心模型：双切线模型三大结论： .（4）必会应用： 、 、 . 思想方法：（1）数形结合思想： ；（2）转化思想： ；（3）模型化思想： . 易错提醒：（1）概念混淆：切勿将“ ”和“ ”混用，分清直线与线段的区别；（2）定理漏条件： ；（3）审题疏漏： ；（4）推理漏洞： . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $