安徽省黄山市屯溪区高一上学期数学作业设计人教A版第三章第一节

答案与解析 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A A C B B 1.【答案】C 【解析】函数要求对于每一个 ，都有唯一确定的 与之对应。A中 对于 有两个 值，不满足唯一性；B中 同样不满足唯一性；D中“最接近的整数”对于 等中间值不唯一；C中 对任意实数 都有唯一确定的 ，构成函数。故选C。 2.【答案】B 【解析】A中 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同；B中 与 ，定义域均为 ，对应关系相同，是同一函数；C中 的定义域为 ，与 的定义域不同；D中 的定义域为 ，与 的定义域不同。故选B。 3.【答案】B 【解析】要使函数有意义，需满足 且 ，即 且 ，所以定义域为 。故选B。 4.【答案】A 【解析】，所以 。，所以 。因此 。故选A。 5.【答案】A 【解析】 的定义域为 。对于 ，需满足 且 ，即 且 ，取交集得 。故定义域为 。故选A。 6.【答案】C 【解析】（因为 ）。。因为 ，所以 。故 。故选C。 7.【答案】B 【解析】若 ，，得 ，与 矛盾，舍去；若 ，，得 ，。 不符合 ， 不符合 ，舍去；若 ，，得 ，符合。综上，。故选B。 8.【答案】B 【解析】 的定义域为 ，即 ，所以 ，即 的定义域为 。对于 ，需满足 ，解得 。故定义域为 。故选B。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AB ACD AD 9.【答案】AB 【解析】A正确， 的定义域为 ；B正确， 在 上单调递增，值域为 ；C错误，；D错误，分段函数是一个函数，只是在定义域的不同子区间上有不同的对应关系。故选AB。 10.【答案】ACD 【解析】A正确，；B错误，，；C正确，当 时 ，当 时 ，值域为 ；D正确，若 ，，得 （舍去 ）；若 ，，得 。所以 或 。故选ACD。 11.【答案】AD 【解析】对于A，令 ，因为 ，所以 ，则 ，。所以 。将 换回 ，得 （），A正确。 对于B，由 ①，用 替换 得 ②。①−2×②得 ，所以 ，B错误。 对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数，C错误。 对于D， 的图象是 的图象向左平移1个单位，纵坐标不变，所以值域仍为 ，D正确。 故选AD。 三、填空题 12.【答案】 【解析】 的定义域为 。对于 ，需满足 且 ，即 且 ，取交集得 。故定义域为 。 13.【答案】 【解析】（因为 ）。。因为 ，所以 。故 。 14.【答案】 【解析】。因为 ，所以 。故值域为 。 四、解答题 15.（13分） 解：（1）要使 有意义，需满足 ，即 ，所以定义域为 。…………………………4分 （2）要使 有意义，需满足 ，即 或 ，所以定义域为 。…………………………8分 （3）要使 有意义，需满足 ，即 ，所以 且 ，定义域为 。…………………………13分 16.（15分） 解：（1）（因为 ）；（因为 ）；（因为 ）。…………………………5分 （2）若 ，，得 ，与 矛盾，舍去；若 ，，得 ，。 不符合 ， 不符合 ，舍去；若 ，，得 ，符合。综上，。…………………………15分 17.（15分） 解：（1）设 （）。则 。…………………………3分 由 ，得 且 。…………………………5分 由 得 或 。 当 时，，得 ，所以 ；…………………………7分 当 时，，得 ，所以 。 综上， 或 。…………………………9分 （2）若 ，则 因为 ，所以 ，即 在 上的值域为 。……………………12分 若 ，则 因为 ，所以 ，即 在 上的值域为 。…………………………15分 18.（17分） 解：（1）根据题意： 即： ……………………5分 （2）因为 ，所以 。即续航里程为 。…………………………9分 （3）因为 ，所以 。实际可用续航里程为 。因为 ，所以该车不能以 的速度完成行驶。…………………17分 19.（17分） 解：（1）。 当 时，； 当 时，； 当 时，。 所以 当 时，；当 时，；当 时，。所以 的值域为 。…………………………6分 （2）由（1）知 。不等式 对一切实数 恒成立，等价于 ，即 ，即 ，即 ，解得 。所以实数 的取值范围为 。…………………………11分 （3）由（1）知，在区间 上： 当 时，，值从 递减到 ； 当 时，； 当 时，，值从 递增到 。 所以 在 上的值域为 。 方程 在 上有两个不相等的实数根，等价于直线 与 在 上的图象有两个不同的交点。 当 时， 在 上有无数个解，不符合“两个不相等的实数根”； 当 时，直线 与 的图象在 和 上各有一个交点，共两个交点； 当 时，，，直线 与图象有两个交点 和 ，符合； 当 或 时，无交点或只有一个交点。 综上，实数 的取值范围为 。…………………………17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章“函数的概念与性质”第一单元作业设计 （新高考题型·满分150分·建议用时90分钟） 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【3.1 函数的概念及其表示 单元作业设计】 学段学科 【高中数学】 适用年级 【高一年级】 教材版本 【人教A版】 对应内容 【第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示】 作业类型 【单元作业】 完成时长 总时长90分钟 设计者 【方韶红】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求： 本作业对应的学科核心素养有数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模，需达成水平2学业质量标准；能够通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合；理解同一个函数的概念；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教材地位： 本单元是人教A版必修第一册第三章的起始单元，承担着从初中“变量说”向高中“对应说”过渡的关键任务。教材通过列车行驶、工资结算、空气质量指数、恩格尔系数四个具体问题，引导学生归纳函数的共同特征，概括出函数的一般定义，明确定义域、对应关系、值域三要素，引入区间概念，学习解析法、列表法、图象法三种表示法，并重点研究分段函数。本单元为后续学习函数的基本性质、幂函数、指数函数、对数函数等奠定概念基础，是函数思想方法在整个高中数学中应用的起点。核心方法有数学抽象、数形结合、分类讨论、等价转化。 教学重难点： 重点：函数的概念（三要素）、函数的三种表示法、分段函数。 难点：从具体实例中抽象出函数概念的本质特征；分段函数的表示与求值；求复合函数的定义域。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有 基础 学生已经在初中学习了函数的概念（变量说），能够认识一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数；通过第一章“集合与常用逻辑用语”的学习，对集合语言和对应关系有了初步认识，为用集合语言重新刻画函数概念提供了知识基础。 现有 困惑 1. 对“对应关系”的理解停留在解析式层面，不能理解同一对应关系可以有多种表示形式； 2. 判断两个函数是否为同一函数时，容易忽略定义域是否相同； 3. 求分段函数的值时，不会根据自变量的取值范围选择对应的解析式； 4. 求复合函数定义域时，不理解“内层函数的值域即为外层函数的定义域”这一关键逻辑。 差异 分析 基础薄弱的学生能记住函数三要素，但不会求复合函数的定义域；中等学生可以完成常规的求定义域和函数值，但分段函数和实际建模容易出错；学有余力的学生希望学习抽象函数的定义域问题、多变量情境下的函数建模等综合题型。 3. 设计意图 本套分层作业依据学情分为基础巩固、能力提升、拓展创新三层，面向不同层次的学生，落实数学抽象、数学运算、数学建模核心素养，由浅入深训练函数的概念辨析、定义域求解、表示法运用、分段函数求值与建模，强化“对应关系”的本质理解，规范定义域的书写步骤，帮助学生突破抽象概念理解和实际建模的易错点，兼顾基础落实与思维拓展。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述函数的概念，辨别函数的三要素，正确使用区间符号表示集合，判断两个函数是否为同一函数 数学抽象 正确率、概念的表述、符号的书写 能力运用 B 会求简单函数和复合函数的定义域，能根据自变量的取值范围选择分段函数的对应解析式求值，能根据实际情境选择恰当的表示法 数学运算、 逻辑推理 解题的步骤、定义域的书写、分段函数求值的准确性 思维发展 C 能完成抽象函数定义域问题和实际建模问题，掌握“对应关系”的本质，体会函数思想、数形结合思想、分类讨论思想 逻辑推理、 数学建模 推理的步骤、建模的思路、分类的完整性 情感态度 D 养成做题先求定义域的习惯，主动反思定义域遗漏类错题 数学运算 错题反思，步骤完整性 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选 函数概念辨析 A 基础考察函数的定义 C；要点：每个x对应唯一确定的y 2 单选 判断两个函数是否为同一函数 A 基础考察三要素 B；要点：定义域和对应关系均相同 3 单选 求函数的定义域 A.B 基础考察定义域求解 B；要点：分母不为零且被开方数非负 4 单选 分段函数求值 B 基础考察分段函数 A；要点：根据x的范围选择对应解析式 5 单选 复合函数定义域 B 基础考察定义域求解 A；要点：内层值域为外层定义域 6 单选 函数值的计算 B 基础考察求值 C；要点：代入计算 7 单选 分段函数与方程 B.C 综合考察分段函数 B；要点：分类讨论 8 单选 抽象函数定义域 B.C 综合考察定义域 B；要点：内层值域为外层定义域 9 多选 区间表示与函数概念 A.B 综合考察区间和概念 AB；要点：逐个判断 10 多选 分段函数的图象与性质 B.C 综合考察分段函数 ACD；要点：画图分析 11 多选 求函数解析式的方法与函数相等的判断 B.C 综合考察换元法、方程组法求解析式及同一函数的判断 AD；要点：换元法、方程组法、定义域判断 12 填空 复合函数定义域 B 基础考察定义域求解 ；要点：内层值域为外层定义域 13 填空 分段函数求值 B 基础考察分段函数 ；要点：代入计算 14 填空 函数值域 B.C 综合考察值域 ；要点：分离常数法 15 解答 求函数定义域与函数值（3小题） B.C 综合运用定义域与求值 见解析；要点：分类讨论 16 解答 分段函数综合问题 B.C 分段函数的应用 见解析；要点：分类讨论 17 解答 待定系数法求解析式与函数值域综合 B.C 待定系数法求解析式，再求新函数的值域 见解析；要点：待定系数法、值域求解 18 解答（原创·时代情景·跨学科融合） 新能源汽车续航里程分段函数建模（融合物理运动学知识） C 实际建模与分段函数，融合物理学科的运动学知识 见解析；要点：建立分段函数模型 19 解答（原创·综合） 绝对值函数与分段函数、值域、恒成立、零点综合 C 绝对值函数转化为分段函数，综合考察函数概念、值域、恒成立、零点问题 见解析；要点：分类讨论、数形结合、等价转化 五、作业实施建议 1. 使用时机：本作业适用于第三章第一单元（3.1节）全部新授课结束后，作为单元复习课之前或之后的诊断检测与反馈使用。 2. 分层使用建议：单项选择题第1—6题、填空题第12—13题为必做基础题，建议全体学生完成；多项选择题、解答题第15—17题为提高题，建议中等及以上水平学生完成；解答题第18—19题为拓展题，建议学有余力的学生完成。 3. 时间分配建议：建议学生在90分钟内独立完成。其中单项选择题约20分钟，多项选择题约15分钟，填空题约10分钟，解答题约40分钟，检查约5分钟。 4. 错题归因分析建议：建议教师在批改后，引导学生从以下维度进行错题归因： 概念性错误：是否对函数三要素、分段函数定义理解不清； 方法性错误：是否不会选择恰当的表示法或求值方法； 规范性错误：是否遗漏定义域讨论或区间符号书写不规范； 计算性错误：是否在代入求值时出现计算失误。 5. 后续教学调整建议：根据学生完成情况，教师可采取以下教学调整： 若第1—3题错误率较高，需在后续教学中加强函数概念的辨析训练； 若第5、8、12题错误率较高，需专项训练复合函数定义域的求解方法； 若第7、16题错误率较高，需强化分段函数分类讨论的规范书写； 若第18—19题完成情况较好，可在后续教学中适当增加综合建模与恒成立问题的训练。 6. 跨学科融合说明：第18题以新能源汽车续航里程为情境，融合了物理学科中运动学知识（速度与路程的关系），引导学生用分段函数模型解决真实问题，体现数学与物理的交叉应用。 7. 实践性作业（选做） ：建议学生课后完成以下实践任务：调查家庭月度用电情况，建立“电费与用电量”的函数模型，并绘制图象，分析阶梯电价政策对家庭用电的影响，形成一份简短的调查报告。 六、作业评价 （一）评价方式 本作业采用“等级评价+评语反馈”相结合的方式。教师根据学生完成情况，从知识掌握、方法运用、思维品质三个维度进行综合评价。 （二）评价维度与等级描述 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，函数三要素理解准确，区间符号书写规范，同一函数判断方法清晰 少量细节错误，定义域偶有遗漏，公式基本正确 多处概念混淆，完全忽略定义域或对应关系 20% 能力运用 方法恰当，定义域求解步骤完整，分段函数求值准确，实际建模清晰 方法基本正确，少量计算失误，个别题目缺少定义域讨论 方法选择不当，分段函数选错解析式，建模无从下手 30% 思维发展 复合函数定义域分析准确，实际应用题建模思路清晰，选做题可以独立完成 思路正确但步骤简略，选做题部分可以完成 推理逻辑混乱，建模思路不清 30% 情感态度 分层作业全部完成，错题能标注易错点，主动反思定义域遗漏类错误 态度端正，按分层要求完成作业，书写工整 被动完成，漏题多，书写潦草不看条件 20% （三）关键评分点 第15题（13分） ：每小题正确写出定义域得4分，区间书写规范得1分，共13分。 第16题（15分） ：第（1）问每个求值得1分，共3分；第（2）问分类讨论完整，每种情形分析正确得4分，结论得2分，共12分。 第17题（15分） ：第（1）问正确设出解析式得2分，正确列出方程组得3分，正确求出两组解得4分，共9分；第（2）问正确求出 解析式得3分，正确求出值域得3分，共6分。 第18题（17分） ：第（1）问正确写出分段函数解析式得5分；第（2）问代入计算正确得4分；第（3）问正确计算可用续航里程得4分，正确得出结论得4分，共17分。 第19题（17分） ：第（1）问正确写出分段函数形式得4分，正确求出值域得2分，共6分；第（2）问正确转化为 得3分，正确解出 的范围得2分，共5分；第（3）问正确分析图象与直线的交点情况得4分，正确求出 的范围得2分，共6分。 （四）评语反馈建议 对完成情况优秀的学生，评语中应肯定其方法运用的灵活性和思维的严谨性，可鼓励其进一步探究分段函数在更广泛情境中的推广。对完成情况良好的学生，建议重点关注分类讨论的完整性和定义域验证的规范性。对完成情况合格的学生，建议回顾教材中函数概念和分段函数的核心结论，加强基础训练。对完成情况待改进的学生，建议重新梳理函数三要素和分段函数的解法步骤，并在教师指导下完成订正。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽黄山市高一数学上学期单元作业 （人教A版必修一第三章第一单元） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列对应关系中，能构成函数的是（　） A. 对于任意实数 ， B. 对于任意非负实数 ， C. 对于任意实数 ， D. 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 函数 的定义域是（　） A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则 的值为（　） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 5. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　） A. 　 　B. 　　 C. 　　D. 6. 已知函数 ，则 的值为（　） A. 　 　B. 　　 C. 　　 D. 7. 已知函数 ，若 ，则实数 的值为（　） A. 　　 B. 　 　C. 或　　 D. 或 8. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　） A. 　 　 B. 　　 C. 　　 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（　） A. 函数 的定义域为 B. 函数 在区间 上的值域为 C. 若 ，则 D. 分段函数是几个函数 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（　） A. B. C. 函数 的值域为 D. 若 ，则 或 11. 下列说法正确的是（　） A. 已知 ，则 （） B. 已知 ，则 C. 函数 与 是同一函数 D. 若函数 的值域为 ，则函数 的值域也为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______。 13. 已知函数 ，则 ______。 14. 函数 的值域为______。 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 求下列函数的定义域，并用区间表示： （1）； （2）； （3）。 16.（15分） 已知函数 。 （1）求 ，， 的值； （2）若 ，求实数 的值。 17.（15分） 已知 是一次函数，且 。 （1）求 的解析式； （2）若 ，求 的解析式，并求 在区间 上的值域。 18.（17分）（原创·时代情景·跨学科融合） 随着新能源汽车的普及，续航里程成为消费者关注的核心指标。某品牌新能源汽车在电池电量充足的情况下，续航里程与行驶速度之间存在如下关系：当行驶速度不超过 时，续航里程为 ；当行驶速度超过 但不超过 时，续航里程与速度的关系为 （单位：km， 为速度）；当行驶速度超过 时，续航里程为 。 （1）设行驶速度为 ，续航里程为 ，试写出 的解析式； （2）若某车主计划以 的速度行驶，求该车的续航里程； （3）若某车主需要行驶 的路程，请通过计算判断该车能否以 的速度完成行驶（要求到达目的地时电量不低于总电量的 ，即实际可用续航里程不低于标称续航里程的 ）。 19.（17分）（原创·综合） 已知函数 。 （1）将 写成分段函数的形式，并求 的值域； （2）若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $