第10讲：单调性与最大（小）值【十三大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

第10讲：单调性与最大（小）值 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 2 题型二、求函数的单调区间 4 题型三：复合函数的单调性 5 题型四、单调性的应用 6 命题点1 已知单调区间求参数 6 命题点2 根据函数的单调性比较大小 7 命题点3 根据函数的单调性解不等式 8 题型五、利用函数的单调性求最值 9 题型六、根据函数的最值求参数问题 10 题型七：分段函数的最值或值域问题 12 题型八：分段函数的单调性解不等式问题 14 题型九：函数不等式恒（能）成立问题 15 题型十：抽象函数问题 17 题型十一：函数性质的综合问题 19 知识点一　增函数与减函数的定义 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点二、函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 知识点三：单调性的二级结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 知识点四　求函数最值的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 【例1】．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. (2)函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【变式1】．（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】证明：设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得，解得，故. (2)证明：任取，且，则 ，因为，且，所以，故，故， 所以在上单调递增. 题型二、求函数的单调区间 【例2】．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增，当时，，由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 题型三：复合函数的单调性 【例3】．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，解得且，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增，由反比例函数性质得在，上单调递减，所以的单调递增区间为，.故选：B 【变式1】．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是_____． 【答案】 【详解】∵的定义域为， 对于函数，令，即，即，解得或. 所以函数的定义域为. 令，则. 当时，单调递增，则单调递增； 当时，单调递减，则单调递减. 故的单调递减区间为. 故答案为： 题型四、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 【例4】．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 命题点2 根据函数的单调性比较大小 【例5】．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且，所以.故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立，可得函数在上单调递增，又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即.故选：D. 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 命题点3 根据函数的单调性解不等式 【例6】．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 【变式1】．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 【变式2】．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. 题型五、利用函数的单调性求最值 【例7】．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）已知函数满足，则在区间的最大值为______. 【答案】/ 【详解】由可得：，两式消去可得：， 由对勾函数性质可知：在区间上单调递减，在上单调递增，由于，所以在区间的最大值是， 故答案为： 【变式1】．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则的单调增区间为________；若则的值域为________． 【答案】 【分析】分，两种情况写出的解析式，利用二次函数的性质即可得出答案. 【详解】当时，，单调增区间为， 当时，，单调增区间为， 又因为是连续函数，所以的单调增区间为， 当时，； 当时，； 所以当时，的值域为； 故答案为：； 【变式2】．（25-26高一上·天津·期中）已知函数，则的值域为______. 【答案】 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，则， 所以原函数可转化为， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 即函数的值域为. 故答案为： 题型六、根据函数的最值求参数问题 【例8】．（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得，当时，，当时，，因为，所以，即最大值为，而函数有最大值，则，解得，当时，最大值在对称轴处取得， 当时，，可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为.故答案为： 【变式1】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数的最小值为，则实数的取值范围______. 【答案】 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】．（23-24高一上·江苏镇江·阶段检测）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是_________. 【答案】 【详解】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 题型七：分段函数的最值或值域问题 【例9】．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）用表示，中的最小值，记为．若，，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，则 又的对称轴分别为，则在和内单调递增， 在和上单调递减，如图，则函数最大值为．    故选：C 题型八：分段函数的单调性解不等式问题 【例10】．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 【变式1】．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当 时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故 满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以 的取值范围是 . 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 题型九：函数不等式恒（能）成立问题 【例11】．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，有. ，，使得成立，等价于，. 即在上恒成立，参变分离可得. 当，，当且仅当时取等号，所以， 故选:C. 题型十：抽象函数问题 【例12】．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. （2）令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 【变式1】．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【详解】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     (2)证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． (3)单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【变式2】．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【详解】（1）令代入，得，所以 (2)设且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是增函数； （3）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以不等式可化为 所以，解得，所以不等式的解集为． 题型十一：函数性质的综合问题 【例13】．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【详解】（1）由题意得方程组：，  即， 解得：，. (2)由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得  ， 所以，所以得，所以实数的最大值为. 【变式1】．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． （2）（ⅰ）由，或， 即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2， 所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，， 所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即， 解得，； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， ； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，． 综上所述：． 一、单选题 1．（2027高三·全国·专题练习）下列函数中，在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上为减函数，A不符合题意； 在上为增函数，B符合题意； 在上为减函数，C不符合题意； 在上为减函数，D不符合题意． 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的情况，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，，显然符合； 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合； 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减， 此时需满足，即. 综上，实数的取值范围是. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 4．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 5．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 二、多选题 6．（26-27高一上·云南红河·开学考试）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减小， ①当时，当时，y随x的增大而增大， 则当时取得最小值，为 当时取得最大值，为， ∵最大值与最小值的差为12， ∴ ， 解得，符合题意； ②当时， 则当时取得最大值，为9， 当时取得最小值，为， 此时最大值与最小值的差为12，符合题意； ③当时， 则当时取得最大值，为9 当时取得最小值，为， ∵最大值与最小值的差为12， ∴， 解得（舍去）. ∴综上，得到n的取值范围为：. 则n的取值可以是0，1，2. 7．（26-27高一上·安徽·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是1或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，因为，则，故A正确； 对于选项B，当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），所以的值是，故B错误； 对于选项C，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确； 对于选项D，当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故D正确. 8．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 9．（26-27高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A，令，则，故A正确； 对于选项B，因为，而，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于选项C，令，则，则， ，则.又，则. 令，，则，故C正确； 对于选项D，由，则， 所以，， 又，则，即，故D错误. 三、填空题 10．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 11．（2027高三·全国·专题练习）若函数在上的值域是，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为函数在区间上是增函数，值域为， 则，即，解得． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）若定义运算，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据函数的新定义，结合函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以，故函数的值域是：. 13．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 四、解答题 14．（26-27高一上·广东·期中）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明：因为，令，则，所以． （2）因为，， 所以可化为. 又函数在区间上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集为． 15．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. （2）由或， 或， 所以，原不等式的解集为. （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 16．（26-27高一上·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)2 (3)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得， 则不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以的最小值为2． （3）由，则，即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 17．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：单调性与最大（小）值 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 2 题型二、求函数的单调区间 3 题型三：复合函数的单调性 3 题型四、单调性的应用 4 命题点1 已知单调区间求参数 4 命题点2 根据函数的单调性比较大小 4 命题点3 根据函数的单调性解不等式 5 题型五、利用函数的单调性求最值 5 题型六、根据函数的最值求参数问题 5 题型七：分段函数的最值或值域问题 6 题型八：分段函数的单调性解不等式问题 6 题型九：函数不等式恒（能）成立问题 6 题型十：抽象函数问题 7 题型十一：函数性质的综合问题 8 知识点一　增函数与减函数的定义 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点二、函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 知识点三：单调性的二级结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 知识点四　求函数最值的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 【例1】．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【变式1】．（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 题型二、求函数的单调区间 【例2】．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【变式1】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型三：复合函数的单调性 【例3】．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式1】．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是_____． 题型四、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 【例4】．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 命题点2 根据函数的单调性比较大小 【例5】．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 命题点3 根据函数的单调性解不等式 【例6】．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型五、利用函数的单调性求最值 【例7】．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）已知函数满足，则在区间的最大值为______. 【变式1】．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则的单调增区间为________；若则的值域为________． 【变式2】．（25-26高一上·天津·期中）已知函数，则的值域为______. 题型六、根据函数的最值求参数问题 【例8】．（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【变式1】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数的最小值为，则实数的取值范围______. 【变式2】．（23-24高一上·江苏镇江·阶段检测）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是_________. 题型七：分段函数的最值或值域问题 【例9】．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）用表示，中的最小值，记为．若，，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D． 题型八：分段函数的单调性解不等式问题 【例十】．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型九：函数不等式恒（能）成立问题 【例11】．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十：抽象函数问题 【例12】．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【变式1】．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【变式2】．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 题型十一：函数性质的综合问题 【例13】．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【变式1】．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【变式2】．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 一、单选题 1．（2027高三·全国·专题练习）下列函数中，在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（26-27高一上·云南红河·开学考试）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（26-27高一上·安徽·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是1或 C．的值域为 D．的解集为 8．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 9．（26-27高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 三、填空题 10．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 11．（2027高三·全国·专题练习）若函数在上的值域是，则实数的值为_________． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）若定义运算，则函数的值域为________. 13．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 四、解答题 14．（26-27高一上·广东·期中）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 15．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 16．（26-27高一上·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 17．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $