精品解析：重庆北碚区西南大学附属中学校2026年9月30日人教版小升初数学试卷

2026.9.30西附 一、计算题。（31分） 1. 解方程。 （1） （2） 2. 脱式计算，能简算的要简算。 （1） （2） （3） （4） 3. 技巧计算题。 4. 技巧计算题。 5. 计算： 6. 计算：++…+ 7. 已知S＝1÷，求S的整数部分． 二、填空题。（每题2分，共28分） 8. 的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得的新分数约分后，新分数约分之前是（ ）。 9. 在A÷B＝9……12这个算式中，A＋B＝212，则A＝（ ），B＝（ ）。 10. 的计算结果的个位数是______。 11. 如果三个连续偶数的和是96，那么这三个连续偶数的积是（ ）。 12. a、b、c、d是四个不同的自然数，且a×b×c×d＝2790，a＋b＋c＋d最小是（ ）。 13. 点子图中小正方形的边长为1厘米，以图中各点为顶点，围成面积是3平方厘米的三角形共（ ）个。 14. 如果1&2，2&3，3&4，那么4&5＝（ ）。 15. 某博物馆有两个旧挂钟。一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将这两个旧挂钟同时调到显示标准时间，结果在24小时范围内，快钟显示10时整时，慢钟恰好显示9时整。此时的标准时间是（ ）。 16. 石头家去年参加了家庭财产保险，保险金额是20000元，每年的保险费率是0.3%，由于保险期间家中被盗，丢失了一部手机和一个手表，保险公司赔偿了2970元。已知手机的价格正好是手表价格的4倍，如果要购买与原价格相同的手机和手表，再加上已交的保险费，小明家比原来多花费410元。则手机原价是（ ）元。 17. 盒子里有三种球，分别标有数字5、9和2，贝贝从中摸出9个球，它们的数字之和是40。贝贝摸出了___________个标有数字2的球。 18. 如图，把A，B，C，D，E，F这六个部分用5种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有　 　种不同的着色方法． 19. 甲、乙、丙三人拿桶去提水，他们接满桶需要时间分别为1分钟、3分钟、2分钟．现在只有一个水龙头可用，要使他们接水的时间以及等候时间的总和最少，应按_____顺序接水，时间最少是_____分钟． 20. 计算________。 21. 若，试问能否被8整除？__________。（填“能”或“不能”） 三、解答题。（19－20题各5分，21－23题各7分，共31分） 22. 如图，四边形ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AD、CD的中点，G为BF上的一点，且BG=2FG,求阴影部分的面积． 23. 一项工程，甲、乙、丙三队合作，4小时可以完成；如果甲做4小时，乙、丙合作2小时，可以完成这项工程的；如果甲、乙合作2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工程的，这项工程如果由甲、丙合作需要几小时完成？ 24. 甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时70千米和每小时55千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时、6小时、9小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 25. 在下面的横式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么表示三位数是多少？ 26. 甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，丙瓶中有20%的酒精10升，第一次将甲中的部分酒精倒入乙瓶中，第二次将乙瓶中的部分酒精倒入丙瓶中，第三次将丙瓶中的部分酒精倒入甲瓶中。此时甲，乙，丙三瓶中的酒精浓度分别为46%、25%、23%。求乙瓶中现在有多少升纯酒精？ 四、综合性问题。（从A、B两题中选做一个，共10分） 27. 如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”。若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），那么为整数时，则称M为“跳跃整数”。 例如：8614满足8＋1＝9，6－4＝2，且P（8614）＝8＋8＝16，Q（8614）＝6＋1＝7，即不是整数，故8614不是“跳跃整数”。 又如：9503满足9＋0＝9，5－3＝2，且P（9503）＝9＋6＝15，Q（9503）＝5＋0＝5，即是整数，故9503是“跳跃整数”。 （1）判断：5745（ ）“跳跃整数”，5341（ ）“跳跃整数”；（填“是”或“不是”） （2）证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； （3）若M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“跳跃整数”，直接写出满足条件的所有M的值。 28. 小明用4个数做加法练习，算出的得数是，，，，，。请证明其中至少有一个得数是错的。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.9.30西附 一、计算题。（31分） 1. 解方程。 （1） （2） 【答案】（1）x＝0.9；（2）x 【解析】 【分析】（1）先根据比例的基本性质（两外项积等于两内项积）把比例化成普通方程，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以4求解； （2）先化简，然后根据等式的性质，方程两边先同时减去，再同时减去，最后同时除以求解。 【详解】（1） 解：4x 3 4x＝3.6 4x÷4＝3.6÷4 x＝0.9 （2） 解： x x x x x 2. 脱式计算，能简算的要简算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）74；（2）18； （3）；（4） 【解析】 【分析】（1）先把带分数化为小数，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （2）先将算式变为 ，然后根据乘法结合律和除法的性质，将算式变为，再计算出括号里面的乘法和除法，最后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先计算出小括号里面的减法，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算出小括号里面的加法，然后计算出中括号里面的乘法，最后计算中括号外面的除法； （4）先计算出小括号里面的加法，然后计算出中括号里面的乘法，最后计算中括号外面的除法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 3. 技巧计算题。 【答案】2022 【解析】 【分析】利用乘法的分配律将括号外面的数分别和括号里面的数相乘，再利用分数的乘法先约分再计算，最后再利用乘法的分配律提出2022，可以简便计算。 【详解】 4. 技巧计算题。 【答案】 【解析】 【分析】连续自然数相加的和可以用（首位数＋末尾数）×个数×，进行计算。 本题中对任意第个分数： 分母是：， 分子是：， 约掉后每个分数变为， 再把所有分子、分母拆成两组独立的连续自然数序列相乘。 第一组分子：，第二组分子： 第一组分母：，第二组分母： 全部交叉抵消后只剩 【详解】 5. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】原式 6. 计算：++…+ 【答案】 【解析】 【分析】利用==+=﹣+×（﹣），把每个都这样拆开计算即可． 【详解】++…+ =++++++…++ =（1﹣+﹣+…+﹣）+﹣+﹣+…+﹣ =×（1+-﹣）+﹣ =×+ = = 【点睛】本题考查巧妙的计算，注意观察数字的特点是关键． 7. 已知S＝1÷，求S的整数部分． 【答案】5 【解析】 【分析】 【详解】因为＜ ＞ S＝1÷ ＝ 所以S＞＝5.1 S＜6 所以S的整数部分为5． 二、填空题。（每题2分，共28分） 8. 的分子加上一个数，分母减去同一个数，所得的新分数约分后，新分数约分之前是（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分子加上一个数，分母减去同一个数，所以分子、分母的和不变，还是13＋53＝66；又因为“新分数约分后”可设新分数的分子为3份，分母为8份，总份数为3＋8＝11份，用和÷总份数即为一份量，用一份量×3即为新分数约分之前的分子，用一份量×8即为新分数约分之前的分母。据此解答。 【详解】（13＋53）÷（3＋8） ＝66÷11 ＝6 新分数的分子为： 6×3＝18 新分数的分母为： 6×8＝48 所以新分数约分之前是。 【点睛】解题的关键是分析出分子、分母的和不变，进而根据新分数约分后，求出新分数的分子和分母。 9. 在A÷B＝9……12这个算式中，A＋B＝212，则A＝（ ），B＝（ ）。 【答案】 ①. 192 ②. 20 【解析】 【分析】根据被除数＝除数×商＋余数，A÷B＝9……12，则A＝9×B＋12，A＋B＝B＋9×B＋12＝212，则B＋9×B＝212－12＝200，式子左边表示1个B加9个B总共10个B，10个B是200，B＝200÷10＝20，A＝212－B＝212－20＝192。 【详解】A＝9×B＋12 A＋B＝B＋9×B＋12＝212，则B＋9B＝212－12＝200，10B＝200，所以B＝200÷10＝20； A＝212－B＝212－20＝192； 即在A÷B＝9……12这个算式中，A＋B＝212，则A＝192，B＝20。 10. 的计算结果的个位数是______。 【答案】1 【解析】 【分析】个位为1； 的个位是2、4、8、6共4个数为一个周期； 的个位是3、9、7、1共4个数为一个周期； 的个位是4、6共2个数为一个周期； 的个位数是5； 的个位数是6； 的个位数以7、9、3、1共4个数为一个周期； 的个位数以8、4、2、6共4个数为一个周期； 的个位数以9、1共2个数为一个周期； 的个位数是0。 据此算出1到10的2007次方的个位数之和，再计算1－2006里有几组这样的数字即可确定。 【详解】2007÷4＝501……3，2007÷2＝1003…...1 的个位为1； 的个位为8； 的个位为7； 的个位为4； 的个位为5； 的个位为6； 的个位为3； 的个位为2； 的个位为9； 的个位为0。 1到10的2007次方的个位数之和是： 1＋8＋7＋4＋5＋6＋3＋2＋9＋0＝45 2006÷10＝200……6 即有200组1到10的2007次方的个位数，还余下1到6的2007次方的个位数 200×45＝9000 1到6的2007次方的个位数之和为： 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31 0＋1＝1 所以计算结果的个位数是1。 11. 如果三个连续偶数的和是96，那么这三个连续偶数的积是（ ）。 【答案】32640 【解析】 【分析】相邻两个偶数的差为2，由此可设中间的偶数为n，则这三个连续的偶数为n－2，n，n＋2，这三个连续偶数的和为96，由此可得等量关系式：（n－2）＋n＋（n＋2）＝96，解此方程即能求出中间的数偶数是多少，近而求得另外两个偶数。 【详解】解：设中间的偶数为n，则三个连续偶数依次为n﹣2，n，n＋2，根据题意得： （n－2）＋n＋（n＋2）＝96 3n＝96 3n÷3＝96÷3 n＝32 32﹣2＝30，32＋2＝34 30×32×34＝32640 答：这三个连续偶数的积是32640。 【点睛】根据自然数中偶数的排列规律列出等量关系式是完成本题的关键。 12. a、b、c、d是四个不同的自然数，且a×b×c×d＝2790，a＋b＋c＋d最小是（ ）。 【答案】45 【解析】 【详解】略 13. 点子图中小正方形的边长为1厘米，以图中各点为顶点，围成面积是3平方厘米的三角形共（ ）个。 【答案】28 【解析】 【分析】三角形的面积等于底乘高除以2，图中小正方形的边长为1厘米三角形面积是3平方厘米，那么当底是3厘米时，高是2厘米，当底是2厘米时，高是3厘米。 【详解】如图所示： 在第一行取长为3的线段作为底，在第三行任取一点作为顶点； 交换方向，在第三行取长为3的线段作为底，在第一行任取一点作为顶点，同样是10种； 第一列、第二列取长度为2的线段作为底，顶点只能取在之间一行，有2个； 交换方向，同样可以找到2个； （个） 【点睛】本题考查的是几何计数问题，在数图形的时候可以按照一定的顺序，避免遗漏和重复。 14. 如果1&2，2&3，3&4，那么4&5＝（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先观察给出算式的分子、分母，从中找出新运算的规律，可以看到分子依次是3、5、7，是从3开始的连续奇数，分母是两个运算数乘积的平方，由此推导出新运算的计算公式a&b，再把4和5代入这个规律进行计算，即可解答。 【详解】4&5 ＝ ＝ ＝ 15. 某博物馆有两个旧挂钟。一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将这两个旧挂钟同时调到显示标准时间，结果在24小时范围内，快钟显示10时整时，慢钟恰好显示9时整。此时的标准时间是（ ）。 【答案】9：45 【解析】 【分析】从条件可以知道，快钟和慢钟每小时相差（1＋30）分，当两个钟相差（10－9）时，再求出快钟经过的时间，由此即可得出标准时间；因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟经过的时间是（15÷1）时，所以是15时前将两个钟同时调准的，即此时的标准时间的15时之前调准的。 【详解】69÷（1＋3） ＝60÷4 ＝15（小时） 快钟15小时比标准时间快了60分钟，所以，此时的标准时间是：10时－1×15分＝9时45分。 【点睛】解答此题的关键是，根据快钟和慢钟每小时相差的时间，求出钟经过的时间，即可得出答案。 16. 石头家去年参加了家庭财产保险，保险金额是20000元，每年的保险费率是0.3%，由于保险期间家中被盗，丢失了一部手机和一个手表，保险公司赔偿了2970元。已知手机的价格正好是手表价格的4倍，如果要购买与原价格相同的手机和手表，再加上已交的保险费，小明家比原来多花费410元。则手机原价是（ ）元。 【答案】2656 【解析】 【分析】 保险费率是0.3%，那么赔偿了2970元，实际到手的钱并不是2970元，实际到手的钱是2970元减去20000元的0.3%，也就是2910元；购买与原价格相同的手机和手表，一共花费了3320元，且手机的价格正好是手表价格的4倍，那么手表价格是1份，手机价格是4份，5份是3320元，求出1份是676元，再计算手机的价格。 【详解】 （元） （元） 所以手机原价是2656元。 【点睛】本题实质上考查的是和倍问题，求出手机和手表的价钱之和是求解问题的关键。 17. 盒子里有三种球，分别标有数字5、9和2，贝贝从中摸出9个球，它们的数字之和是40。贝贝摸出了___________个标有数字2的球。 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意设数字2的球有A个，数字5的数有B个，数字9的数有C个，则，且。将两个式子整理得3B＋7C＝22。因为7A的值比较大，尽量先给C赋值，容易得出B，进而求出。 【详解】设数字2的数有A个，数字5的数有B个，数字9的数有C个。 则A＝9－B－C，将这个式子带入到，则 则当C＝1时，B＝5，。 当C＝2时，3B＝8，而B是整数，不符合题意。 则贝贝摸出了3个标有数字2的球。 18. 如图，把A，B，C，D，E，F这六个部分用5种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有　 　种不同的着色方法． 【答案】960. 【解析】 【详解】试题分析：对于A有5种着色方法，B与A相邻，有4种着色方法；C与A相邻，它可以与B的颜色相同，因此C有4种着色方法；同理可以知D有4种着色方法，E有1种着色方法，F有3种着色方法，共有：5×4×4×4×1×3=960（种）． 解：5×4×4×4×1×3=960（种）； 答：幅图一共有 960种不同的着色方法； 故答案为960． 点评：此题属于排列组合习题，解答此题的关键先通过分析，找出规律，继而得出结论． 19. 甲、乙、丙三人拿桶去提水，他们接满桶需要时间分别为1分钟、3分钟、2分钟．现在只有一个水龙头可用，要使他们接水的时间以及等候时间的总和最少，应按_____顺序接水，时间最少是_____分钟． 【答案】 ①. 甲→丙→乙 ②. 10 【解析】 【详解】（1）因为1＜2＜3，所以按甲→丙→乙的顺序打水使等候的时间和最少． （2）3×1+2×2+3＝10（分钟）， 答：应按 甲→丙→乙顺序接水，最少接水时间总和是10分钟． 故答案为甲→丙→乙，10. 20. 计算________。 【答案】 【解析】 【分析】先计算所有小括号里的分数加、减法，其中结果是带分数的，改写为假分数；将上一步得到的结果的分子和分母的各个因数，利用乘法交换律和乘法结合律，重新组合，构造成可以约分的形式，分子中是从到一共有个数，将中的41个3，分别与上一步加法计算出的各个分数分组相乘，各组再相乘，写在分子上；分母中是从到一共有个数，将中的41个5，分别与上一步减法计算出的各个分数分组相乘，各组再相乘，写在分母上；上一步各组中，分母与约分、分母与约分；将上一步得出的结果，分子上与分母上相同的分数分别约分，得出最终结果。据此计算。 【详解】 21. 若，试问能否被8整除？__________。（填“能”或“不能”） 【答案】能 【解析】 【分析】根据能被8整除的数的特征，一个数能否被8整除，取决于其末三位组成的数能否被8整除。四位数可以写成，因为1000是8的倍数，所以只需判断是否是8的倍数。将 按数位展开为，结合已知条件进行等量代换，化简后观察是否含有因数8。 【详解】 可以表示为：，因为，所以一定能被8整除。 要判断能否被8整除，只需判断能否被8整除。 按数位展开为：，由已知条件，可得 将d代入的表达式中： 因为均为整数，所以也是整数。 由此可知，是8的倍数，即能被8整除。 综上所述，能被8整除。 三、解答题。（19－20题各5分，21－23题各7分，共31分） 22. 如图，四边形ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AD、CD的中点，G为BF上的一点，且BG=2FG,求阴影部分的面积． 【答案】7.5cm² 【解析】 【详解】连结BE，如图所示：E是AD边中点，F是DC边中点可得： AE=ED=×6=3（cm） DF=FC=×10=5（cm） 再根据三角形面积公式可得： S△BEF=6×10-10×3÷2-5×3÷2-5×6÷2=22.5（cm²） S△EFG=S△BEF=×22.5=7.5（cm²） 23. 一项工程，甲、乙、丙三队合作，4小时可以完成；如果甲做4小时，乙、丙合作2小时，可以完成这项工程的；如果甲、乙合作2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工程的，这项工程如果由甲、丙合作需要几小时完成？ 【答案】6小时 【解析】 【分析】设总工程量为“1”，则甲、乙、丙三队每小时工作量为。“如果甲做4小时，乙、丙合作2小时”，也可理解为“甲、乙、丙合作2小时，甲再单独做2小时”，用计算出甲2个小时的工作量，根据工作量÷工作时间＝工作效率，计算出甲每小时的工作量； “如果甲、乙合作2小时后，丙再做4小时”，也可以理解为“甲、乙、丙合作2小时，丙再单独做2小时”，用，计算出丙2个小时的工作量，根据工作量÷工作时间＝工作效率，计算出丙每小时的工作量；最后根据工作总量“1”÷甲丙的工作效率之和＝甲丙合作完成需要的工作时间 【详解】将总工作量看作“1”， 甲每小时工作量为： 丙每小时工作量为： ＝6（小时） 答：甲、丙合作需要6小时完成。 24. 甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时70千米和每小时55千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时、6小时、9小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【答案】30千米/时 【解析】 【分析】甲、乙、丙三车从 A 地出发，卡车从对面开来，出发时卡车与 A 地的距离是固定不变的。根据相遇问题的数量关系：速度和×相遇时间＝总路程。出发5小时后，甲走了 70×5＝350 千米，乙走了 55×5＝275 千米，卡车和甲相遇时和乙车相距275千米，经过1小时后和乙车相遇，即1小时卡车和乙车行驶的总路程为350－275＝75千米，则卡车速度＝卡车和乙车1小时的总路程÷时间－乙车速度；将卡车速度和甲车速度以及5小时相遇代入数量关系：总路程＝速度和×时间求出A地和卡车出发地的总路程，将卡车速度和卡车与丙车相遇时间代入数量关系：则丙车速度＝A地和卡车出发地距离÷两车相遇时间－卡车速度。 【详解】卡车速度： （70×5－55×5）÷（6－5）－55 ＝（350－275）÷1－55 ＝75÷1－55 ＝75－55 ＝20（千米/时） A地与卡车出发地间的路程： （70＋20）×5 ＝90×5 ＝450（千米） 丙车速度： 450÷9－20 ＝50－20 ＝30（千米/时） 答：丙车的速度是 30 千米/小时。 25. 在下面的横式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么表示三位数是多少？ 【答案】 748 【解析】 【分析】根据题意，先把分解质因数，再写成两位数乘两位数的形式，然后再进一步解答即可得到答案。 【详解】 所以，，； 因此。 答：那么表示三位数是。 【点睛】本题考查分解质因数，熟练的把分解质因数是解题关键。 26. 甲瓶中有纯酒精11升，乙瓶中有水15升，丙瓶中有20%的酒精10升，第一次将甲中的部分酒精倒入乙瓶中，第二次将乙瓶中的部分酒精倒入丙瓶中，第三次将丙瓶中的部分酒精倒入甲瓶中。此时甲，乙，丙三瓶中的酒精浓度分别为46%、25%、23%。求乙瓶中现在有多少升纯酒精？ 【答案】升。 【解析】 【分析】第一次将甲中的部分酒精倒入乙瓶中，第二次将乙瓶中的部分酒精倒入丙瓶中，第三次将丙瓶中的部分酒精倒入甲瓶中，此时甲，乙，丙三瓶中的酒精浓度分别为46%、25%、23%， 可知第一次将甲中的部分酒精倒入乙瓶中，乙瓶的酒精浓度为25%， 设甲瓶倒入乙瓶升酒精，列方程：，解得；即可算出甲瓶倒入乙瓶的体积。 第二次将乙瓶中的部分酒精倒入丙瓶，丙瓶的酒精浓度为23%，设乙瓶倒入丙瓶升酒精，列方程：，解得；即可算出乙瓶倒入丙瓶的体积。 根据甲瓶倒入乙瓶5升，乙瓶倒入丙瓶15升，结合乙瓶的酒精浓度为25%可算出乙瓶中现在的纯酒精升数。 【详解】第一次将甲中的部分酒精倒入乙瓶中，乙瓶的酒精浓度为25%， 解：设甲瓶倒入乙瓶升酒精， 甲瓶倒入乙瓶5升。 此时乙瓶有浓度25%的酒精：（升） 第二次将乙瓶中的部分酒精倒入丙瓶，丙瓶的酒精浓度为23%， 解设乙瓶倒入丙瓶升酒精。 乙瓶倒入丙瓶15升 此时乙瓶有浓度25%的酒精：（升） 此时乙瓶中有纯酒精： （升） 答：乙瓶中现在有1.25升纯酒精。 四、综合性问题。（从A、B两题中选做一个，共10分） 27. 如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”。若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），那么为整数时，则称M为“跳跃整数”。 例如：8614满足8＋1＝9，6－4＝2，且P（8614）＝8＋8＝16，Q（8614）＝6＋1＝7，即不是整数，故8614不是“跳跃整数”。 又如：9503满足9＋0＝9，5－3＝2，且P（9503）＝9＋6＝15，Q（9503）＝5＋0＝5，即是整数，故9503是“跳跃整数”。 （1）判断：5745（ ）“跳跃整数”，5341（ ）“跳跃整数”；（填“是”或“不是”） （2）证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； （3）若M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“跳跃整数”，直接写出满足条件的所有M的值。 【答案】（1）不是；是 （2）设一个四位“跳跃数”为，则：2b＝11×（90a＋9b＋8），一定是11的倍数。 （3）3765，5341，9503 【解析】 【分析】（1）先根据一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，判断一个四位数是不是“跳跃数”，再根据条件若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），是否为整数时，判断这个“跳跃数”是不是“跳跃整数”。（2）一个四位数可以设为表示的大小是，据此解答这个数是否能被11整除。（3）运用“跳跃整数”的特点来找出满足条件的所有M的值。 【详解】（1）5745的千位数字和十位数字的和为：5＋4＝9，百位数字与个位数字的差为：7－5＝2，即5745是“跳跃数”， P（M）＝5＋5×2＝15，Q（M）＝7＋4＝11，，不是整数，则5745不是“跳跃整数”。 5341的千位数字和十位数字的和为：5＋4＝9，百位数字与个位数字的差为：3－1＝2，即5341是“跳跃数”，P（M）＝5＋1×2＝7，Q（M）＝3＋4＝7，1，1是整数，则5341是“跳跃整数”。则 5745不是“跳跃整数”，5341是“跳跃整数”。 （2）设一个四位“跳跃数”为，则： 千位数字和十位数字的和为：a＋c＝9 百位数字与个位数字的差为：b－d＝2，即d＝b－2 2b ＝1000a＋100b＋10c＋d－2b ＝990a＋10a＋98b＋10c＋d ＝990a＋10（a＋c）＋98b＋（b－2） ＝990a＋10×9＋98b＋b－2 ＝990a＋99b＋88 ＝11×（90a＋9b＋8） 则11×（90a＋9b＋8）一定是11的倍数， 即任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除。 （3）因为M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝1000（2a＋1）＋100b＋10c＋d且M是“跳跃整数”， 所以M的千位数字为（2a＋1），百位数字为b，十位数字c，个位数字为d，则： 2a＋1＋c＝9，b－d＝2， 所以2a＋c＝8，b－d＝2， 即c＝8－2a，d＝b－2， 所以P（M）＝2a＋1＋2d＝2a＋2d＋1，Q（M）＝b＋c 即 因为1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数，所以： 当a＝1时，F（M） 当b＝7时，F（M）1 此时：d＝b－2＝7－2＝5 c＝8－2a＝8－2×1＝8－2＝6 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×1＋1000＋100×7＋10×6＋5＝3765 当a＝2时，F（M） 当b＝3时，F（M）1 此时：d＝b－2＝3－2＝1 c＝8－2a＝8－2×2＝4 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×2＋1000＋100×3＋10×4＋1＝5341 当a＝3时，F（M），不管b为何值，F（M）都不是整数，不合题意。 当a＝4时，F（M） 当b＝5时，F（M）＝22＋1＝3 此时：d＝b－2＝5－2＝3 c＝8－2a＝8－2×4＝0 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×4＋1000＋100×5＋10×0＋3＝9503 答：满足条件的所有M的值为：3765，5341，9503。 【点睛】根据一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，判断一个四位数是不是“跳跃数”，再根据条件若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），是否为整数时，判断这个“跳跃数”是不是“跳跃整数”。一个四位数可以设为表示的大小是，据此解答这个数是否能被11整除。 28. 小明用4个数做加法练习，算出的得数是，，，，，。请证明其中至少有一个得数是错的。 【答案】见详解 【解析】 【分析】假设所有得数都正确，将六个等式左右两边分别相加。左边每个字母都出现3次，右边是六个数的和。由此可算出四个数的总和，再利用其中一对的和推出另一对的和，与题中给出的数据对比，若矛盾则证明假设错误。 【详解】证明：假设6个得数都正确。 左边相加： （a＋b）＋（a＋c）＋（a＋d）＋（b＋c）＋（b＋d）＋（c＋d）＝3×（a＋b＋c＋d） 右边相加：9＋32＋38＋37＋41＋44＝201 所以3×（a＋b＋c＋d）＝201，得 a＋b＋c＋d＝67 已知c＋d＝44，那么a＋b＝67－44＝23 但题中给出 a＋b＝9，23≠9，因此假设不成立，至少有一个得数是错的。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $