1.4 正方形的性质与判定（第1课时） 教学课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

1.4 正方形的性质与判定（第1课时） 教学课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1. 理解正方形的定义，掌握正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系 2. 掌握正方形的边、角、对角线、对称性等性质 3. 能运用正方形的性质解决简单的计算与证明问题 4. 理解正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的包含关系 一、复习回顾 我们之前已经学习了两种特殊的平行四边形： • 矩形：有一个角是直角的平行四边形，四个角都是直角，对角线相等 • 菱形：有一组邻边相等的平行四边形，四条边都相等，对角线互相垂直平分 思考：有没有一种图形，既是矩形又是菱形？它就是我们今天要学习的正方形。 二、正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从定义可以看出： 1. 正方形首先是平行四边形 2. 它有一组邻边相等（满足菱形的条件） 3. 它有一个角是直角（满足矩形的条件） 因此：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形。 三、四边形的包含关系 包含关系从大到小： 四边形 └── 平行四边形 ├── 矩形（有直角） │ └── 正方形（有一组邻边相等） └── 菱形（有邻边相等） └── 正方形（有一个角是直角） 正方形同时具备矩形和菱形的所有性质。 四、正方形的性质：边 性质定理1：正方形的四条边都相等，对边平行。 数学语言表示： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB = BC = CD = DA AB∥CD，AD∥BC 四、正方形的性质：角 性质定理2：正方形的四个角都是直角，都等于90°。 数学语言表示： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90° 四、正方形的性质：对角线 性质定理3：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 数学语言表示： ∵ 四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O ∴ AC = BD AC⊥BD OA = OC = OB = OD AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC 四、正方形的性质：对称性 正方形是轴对称图形，它一共有4条对称轴： 1. 两组对边的中点连线（2条水平/竖直对称轴） 2. 两条对角线所在的直线（2条斜向对称轴） 正方形同时也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 五、正方形性质汇总表 | 性质类别 | 具体内容 | |---------|---------| | 边 | 对边平行，四条边都相等 | | 角 | 四个角都是直角，均为90° | | 对角线 | 相等、互相垂直平分、平分一组对角 | | 对称性 | 4条对称轴，中心对称 | | 周长 | C = 4a（a为边长） | | 面积 | S = a² = ½×d²（d为对角线长） | 六、典型例题精讲：例1 【例1】如图，正方形ABCD的边长为6cm，求它的对角线AC的长度。 解： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC = 90°，AB = BC = 6cm（正方形的四个角都是直角，四条边相等） 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC = √(AB² + BC²) = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 cm 答：正方形的对角线长为6√2 cm。 六、典型例题精讲：例2 【例2】已知正方形ABCD的对角线长为8cm，求它的边长和面积。 解： 设正方形的边长为a cm ∵ 正方形的对角线与两边构成等腰直角三角形 ∴ 由勾股定理得：a² + a² = 8² 即 2a² = 64，a² = 32 ∴ a = √32 = 4√2 cm 面积S = a² = 32 cm² （或用公式S = ½×d² = ½×8² = ½×64 = 32 cm²） 答：正方形的边长为4√2 cm，面积为32 cm²。 六、典型例题精讲：例3 【例3】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE、DE。 求证：BE = DE 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ BC = DC，∠BCE = ∠DCE = 45°（正方形对角线平分一组对角） 又∵ CE = CE（公共边） ∴ △BCE ≌ △DCE（SAS） ∴ BE = DE 七、随堂巩固练习 1. 正方形的边长为3cm，则它的周长是____cm，面积是____cm²，对角线长是____cm 答案：12；9；3√2 2. 正方形的对角线长为4cm，则它的边长是____cm，面积是____cm² 答案：2√2；8 3. 正方形有____条对称轴，对角线的夹角是____度 答案：4；90° 七、随堂巩固练习：解答题 4. 已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=10cm，求： （1）AB的长；（2）正方形的面积 解： （1）∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ OA = OB = ½AC = 5cm，AC⊥BD 在Rt△AOB中，AB = √(OA² + OB²) = √(5² + 5²) = √(25+25) = √50 = 5√2 cm （2）面积S = ½×AC×BD = ½×10×10 = 50 cm² 答：AB长为5√2 cm，正方形面积为50 cm²。 八、课堂小结 本节课我们学习了正方形的相关知识： 1. 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2. 正方形的性质： • 边：四条边相等，对边平行 • 角：四个角都是直角 • 对角线：相等、垂直、平分、平分对角 • 对称性：4条对称轴，中心对称 3. 正方形与矩形、菱形、平行四边形的包含关系 4. 利用勾股定理进行正方形边长和对角线的计算 九、课后作业 1. 必做题：教材第一章第4节课后习题1-5题 2. 选做题：完成配套练习册中正方形性质相关拓展题 3. 预习：预习正方形的判定部分内容 $