1.4 正方形的性质与判定 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义与性质，通过创设情境导入定义，以图形转化关系（平行四边形→矩形/菱形，矩形/菱形→正方形）为学习支架，衔接矩形和菱形性质，构建知识脉络，关联几何画板动态演示转化过程。 其亮点在于通过思考交流、性质证明（如对角线垂直平分的证明）培养推理能力，例题（例1证BE=DF且垂直）和尝试交流（画菱形、矩形）发展应用意识与创新意识。小结用表格清晰呈现定义和性质，帮助学生系统掌握，教师可利用其逻辑结构提升教学效率。

1.4 正方形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第1课时 正方形的性质 1 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 创设情境，导入新课 一个角是直角 平行四边形 距形 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 菱形 正方形 几何画板.GSP 几何画板.GSP （1）正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流。 正方形是特殊的平行四边形 探究新知，经历过程 思考·交流 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形是特殊的菱形 正方形是特殊的矩形 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 正方形的性质 你能证明吗？ 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形。 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角。 证明：∵四边形 ABCD 是正方形。 ∴∠A = 90°，AB = AD， 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴正方形是矩形，正方形是菱形。 ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD。 A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形。对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD。 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO。 ∵正方形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥ BD。 A B C D O AB = BC = CD = DA ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 几何语言： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 ∵四边形 ABCD 是正方形， 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 解：BE = DF， 且 BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形。 ∴BC = DC，∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°- 90°= 90°。 ∴∠BCE =∠DCF。 又∵CE = CF。 ∴△BCE≌△DCF。∴BE = DF。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）延长 BE 交 DF 于点 M。 ∵△BCE ≌ △DCF。 ∴∠CBE = ∠CDF。 ∵∠DCF = 90°。 ∴∠CDF +∠F = 90°。 ∴∠CBE +∠F = 90°。 ∴∠BMF = 180°－（∠CBE + ∠F）= 180°－ 90°= 90°。 ∴BE ⊥ DF。 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1)请在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D O 连接正方形的对角线 AC、BD。 作对角线 AC 的垂直平分线，在 AC 中取点 E，F，使 OE = OF 。 顺次连接 A、E、C、F 四点，四边形 AECF 即为所求菱形。 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (2)请在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA上，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D 在正方形的边 AB 上任取一点 E（不与端点重合）。 在边 BC 上取点 F，边 CD 上取点 G，边 DA 上取点 H，使得 AE = BF = CG = DH。 顺次连接 E、F、G、H 四点，四边形 EFGH 即为所求菱形。 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 1. 下列说法不正确的是（　D　） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 D —— 课堂练习 —— A层基础练 2. 如图，正方形OBCD的边长为2，则点C的坐标为（　C　） C A层基础练 3. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝ AC，则∠E的度数为 ⁠。 第3题图 67.5°　 A层基础练 4. 如图1的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方 鼎的口呈正方形（如图2），正方形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，则下列说法不正确的是（　B　） A. AC⊥BD B. AD＝AO C. DO＝CO D. ∠DAO＝∠BAC B A层基础练 5. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积 为 cm2。 第5题图 8　 A层基础练 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向外作正方 形BCDE，对角线BD与CE相交于点O。求证：∠ABO与 ∠ACO互补。 证明：∵四边形BCDE是正方形， ∴∠BOC＝90°。 ∵∠BAC＝90°，四边形ABOC的内角和为360°， ∴∠ABO＋∠ACO＝360°－∠BOC－∠BAC＝360°－90° －90°＝180°。 ∴∠ABO与∠ACO互补。 证明：∵四边形BCDE是正方形， ∴∠BOC＝90°。 ∵∠BAC＝90°，四边形ABOC的内角和为360°， ∴∠ABO＋∠ACO＝360°－∠BOC－∠BAC ＝360°－90°－90°＝180°。 ∴∠ABO与∠ACO互补。 A层基础练 7. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一条边作菱形AEFC， 则∠FAB＝（　C　） A. 30° B. 45° C. 22.5° D. 35° 第7题图 C B层 提升练 8. 如图，已知正方形ABCD的面积为16，Q是AB边上的一个 动点（点Q不与点B重合）。若M，N分别是DQ，BQ的中 点，则线段MN的长度为（　A　） A B层 提升练 9. 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点，GE⊥ CD，GF⊥BC，垂足分别为E，F，连接AG，EF。若AG ＝6，则EF＝ ⁠。 第9题图 6　 B层 提升练 10. 【创新点·几何探究】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E 在AD的延长线上，且PA＝PE，CD与PE相交于点M，连接PC。 【问题发现】（1）线段PC与PE之间的数量与位置关系为 ⁠。 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB。 在△ADP和△CDP中， ∴△ADP≌△CDP（SAS）。 ∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP。∵PA＝PE， ∴PC＝PE，∠PAE＝∠PEA。∴∠PCD＝∠PEA。 ∵∠DME＝∠PMC，∴∠CPM＝∠CDE＝90°。 ∴PC⊥PE。故答案为：PC＝PE，PC⊥PE。 PC＝PE，PC⊥PE　 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB。 在△ADP和△CDP中， ∴△ADP≌△CDP（SAS）。 ∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP。 ∵PA＝PE，∴PC＝PE，∠PAE＝∠PEA。 ∵∠DME＝∠PMC，∴∠CPM＝∠CDE＝90°。 ∴PC⊥PE。故答案为：PC＝PE，PC⊥PE。 ∴∠PCD＝∠PEA。 C层 拓展练 【类比探究】 （2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究 线段PC与线段PE的数量关系，并说明理由。 （2）PC＝PE。理由如下：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝BC，AD∥BC。 ∴∠ADB＝∠DBC＝∠CDB。 在△ADP和△CDP中， ∴△ADP≌△CDP（SAS）。∴PA＝PC。 ∵PA＝PE，∴PC＝PE。 解：（2）PC＝PE。理由如下： ∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝BC，AD∥BC。 ∴∠ADB＝∠DBC＝∠CDB。 在△ADP和△CDP中， ∴△ADP≌△CDP（SAS）。∴PA＝PC。 ∵PA＝PE，∴PC＝PE。 C层 拓展练 $