第一章 特殊平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（课件）2026-2027学年北师大九年级数学上册

该初中数学课件围绕“内嵌于正方形的正八边形”展开，通过欣赏古建筑藻井图案导入，回顾正方形和正八边形性质，搭建从图形性质到尺规作图探究的学习支架。 其亮点是以问题解决活动为主线，通过三种作图方法的探究与证明，培养学生几何直观和推理意识。例如分析正八边形与正方形边角关系，证明中运用全等三角形和角度计算，提升学生数学思维，为教师提供结构化教学流程和分层作业设计。

第一章 特殊平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 观察这些图片，欣赏并感受其中的美学. 导入新课 2 问题：在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.例如，如图所示的古建筑藻井图案就是一个正方形里面嵌套了多个正八边形.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.请回忆一下，正方形、正八边形具有哪些性质？ 导入新课 3 正方形是中心对称图形和轴对称图形，它的性质是对边平行，四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分；正八边形也是中心对称图形和轴对称图形，它的性质是八条边都相等，八个内角都是135°，外角都是45°. 思考一下，能用尺规作出内嵌于正方形的正八边形吗？ 导入新课 4 活动一：理解问题 高效课堂 问题：正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请画出相应的草图.如果从边的位置关系描述平行四边形，应如何描述？ 可能画出多种情况，如图1~图6. 5 高效课堂 其中图1~图4不符合“正八边形内嵌于正方形”的概念；图5、图6符合“正八边形内嵌于正方形”的概念. 6 活动二：拟订计划 高效课堂 问题1：观察你画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件.例如，正八边形经过哪些特殊的点，图中的角、线段具有哪些确定的数量关系，具有哪些特殊的角，边长有哪些特点，等等. 根据正八边形和正方形的性质， 可以逐步得到如下结论： (1)正八边形的内角都是135°，外角都是45°； (2)正八边形的边都相等； 7 高效课堂 (3)图中的三角形都是全等的等腰直角三角形； (4)LK＝LE＝KJ＝AL＝KD； (5)正八边形的边长∶正方形的边长＝(－1)∶1…… 8 高效课堂 问题2：根据分析，能说说用尺规作这个正八边形的大致思路吗？整理自己的思路，并进行交流. 可以根据已经画出的草图，倒推尺规作图的思路：可以通过135°或45°的角度关系作图，或根据边长的 倍关系作图，还可以从图形的对称性出发思考尺规作图的方法.常见的作图方法有以下三种： 高效课堂 方法一：如图1，①连接对角线AC，BD相交于点O；②分别以点A，B，C，D为圆心，对角线的一半长为半径画弧，各弧与正方形每边的交点记为E，F，G，H，I，J，K，L；则八边形EFGHIJKL是正方形ABCD的内嵌正八边形. 高效课堂 方法二：如图2，①连接对角线AC，BD 相交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆，圆O经过A，B，C，D四个顶点；③分别过点O作AB，AD的垂线，两垂线分别交圆O 于点M，N，P，Q；④连接MN，NP，PQ，QM，分别交正方形ABCD的四边于点F，G，H，I，J，K，L，E；则八边形EFGHIJKL是正方形ABCD的内嵌正八边形. 高效课堂 方法三：如图3，①连接对角线AC，BD 相交于点O；②分别过点O 作AB，AD的垂线，两垂线分别交正方形ABCD于点M，N，P，Q；③分别作∠AOM，∠BOM，∠BON，∠CON， ∠COP， ∠DOP， ∠DOQ，∠AOQ的平分线，分别交正方形ABCD的四边于点E，F，G，H，I，J，K，L；则八边形EFGHIJKL是正方形ABCD的内嵌正八边形. 活动三：实施计划 高效课堂 问题1：作图思路是正确吗？说明其中的道理. 设正方形的边长为1，则对角线AC＝BD＝. 13 高效课堂 14 高效课堂 方法二的证明思路：根据作图过程可得四边形MNPQ也是正方形，且边长与正方形ABCD的边长相同.所以可以证明 △AEL，△MFE，△BGF，△NHG，△CIH，△PJI，△DKJ，△QLK是全等的等腰直角三角形.所以EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JK＝KL＝LE，且∠LEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHI＝∠HIJ＝∠IJK＝∠JKL＝∠KLE＝135°.所以八边形EFGHIJKL是正八边形. 高效课堂 方法三的证明思路：根据作图过程可得以点O为顶点的每一个小角都是22.5°，可以进一步得出△OEF，△OFG，△OGH，△OHI，△OIJ，△OJK，△OKL，△OLE都是全等的等腰三角形，且顶角都是45°.所以EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JK＝KL＝LE，且∠LEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHI＝∠HIJ＝∠IJK＝∠JKL＝∠KLE＝135°. 所以八边形EFGHIJKL是正八边形. 高效课堂 问题2：能用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形吗？ 选择自己喜欢的方法完成尺规作图. 活动四：回顾反思 高效课堂 回顾上面问题的解决过程，反思以下问题： (1)经过探究，你得到了哪些作图方法？这些方法各有什么特点？ 常见的作图方法有三种，方法一的作图方法比较简单，方法二和方法三用尺规作垂线、角平分线时稍微复杂. (2)在探索作图方法的过程中，积累了哪些经验？ 对于复杂问题的尺规作图，可以先画出草图，通过草图分析需要画出的图形应该满足什么条件；也可以从图形的对称性角度分析如何画图. 18 高效课堂 初步思考出的作图步骤还需要经过严格的计算、推理，说明其正确性后才能实施作图.如果在推理论证中发现自己的作图思路存在问题，那么还需要进一步修改，调整作图步骤，直至正确为止. 19 课堂评价 20 课堂评价 21 通过本节课，你学到了哪些知识？你还有哪些困惑？你还能提出关于内嵌的哪些问题？请畅所欲言. 课堂总结 22 基础性作业：教材“回顾反思”后面的第1题. 提高性作业：如何通过尺规作出如下图所示的内嵌于正方形的正八边形？ 作业设计 23 拓展性作业：小明对“用一张正方形纸折出一个正八边形”的问题进行了认真探索.他先把正方形ABCD沿对角线AC对折，再把∠BAC对折，使点B落在AC上，记为点E.然后沿CE的中垂线折叠，得到折痕PQ，如图1，类似地，折出其余三条折痕GH，IJ，KO，得到八边形GHIJKOPQ，如图2. 作业设计 24 (1)求证：△CPQ是等腰直角三角形； (2)若AB＝a，求PQ的长(用含a的代数式表示)； (3)求证：八边形GHIJKOPQ是正八边形. 作业设计 25 $