新疆维吾尔自治区新疆乌鲁木齐市部分校2026-2027学年度九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期九年级第一次学情诊断数学问卷 时间120分钟 满分150分 一．选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．下列表格中是二次函数的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） x 6.7 6.8 6.9 7.0 -0.3 -0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 5．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（ ） A． B． C． D． 7．一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．九年级（1）班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案（如图），最佳方案是（ ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10．将一元二次方程化成一般形式为__________ 11．若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 12．已知二次函数（为常数），当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________ 13．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是__________ 14．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，方程的解集是__________ 15．如图，点，，，…，在抛物线上，点，，，…，在抛物线的对称轴上，若，，…，都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为__________． 三．解答题（共8小题，共90分） 16．（每题4分，共12分）解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 17．解决问题（10分） （1）．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ （2）．是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 18．（10分）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 19．（10分）已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是__________，对称轴是直线__________； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当x的取值范围为__________时，． 20．（10分）如图，用长为的篱笆和一面可利用的墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边留有两个宽为的出入口．设花圃的一边长为x米． （1）请你用含x的代数式表示另一边AD的长为__________． （2）若花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到，请说明理由．再猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 21．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． （1）任务1：以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 22．（12分）2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（14分）定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）已知二次函数，当，时“影差”值为0． ①求，的值； ②求此时该二次函数点“影差”最大值． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $