精品解析：山东济南育秀中学2026-2027学年九年级上学期数学10月阶段学情检测

济南育秀中学2024级九上数学试卷（10月） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示的几何体，其左视图为（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握相关知识是正确解答的关键．根据几何体的左视图画法得出答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为． 故选：B． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 4. 如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可以得出，解分式方程即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， ， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 故选：B． 5. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故选：A 6. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的周长为3，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于位似比可得答案． 【详解】解：∵且与是位似图形， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为3， ∴的周长为6， 故选：B． 7. 如图，已知，下列三角形与不一定相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：∵原三角形的三边之比为：； A、因为三组对应边的比相等的两个三角形相似；不符合题意； B、因为有两组角对应相等的两个三角形相似；不符合题意； C、因为两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；不符合题意； D、两组对应边的比相等，但是夹角不一定相等，所以与不一定相似． 故选：D． 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 9. 如图，平行四边形中，分别为边上两点，，，连接交于点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，所以，接着证明，得到，然后根据三角形面积公式得到，所以． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示， 设它们交于点，令，即，解得：或， ， 观察图象可知： ①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值小于； ③当时，，函数值随的增大而减小，最大值为． 综上所述，的最大值是． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 12. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以． 14. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，用代入法求解是关键．通过直接计算二次函数在各点处的函数值，比较大小关系即可． 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 15. 已知二次函数与自变量x的部分对应值如表： 现给出下列说法： ①该函数开口向下 ②函数图象的对称轴是直线 ③当时， ④ 其中正确的结论有_______________．（只需写出序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查待定系数法与二次函数的图象性质：由三对对应值求出解析式后，由 的符号判断开口方向，由 求对称轴，利用对称性求函数值， 的值直接计算；注意对称轴是直线 而不是 ，容易误判②． 【详解】解：把、、代入，得 ， ∴， ∴． ①∵，∴该函数开口向下，正确； ②对称轴为直线，不是直线，错误； ③∵ 与 关于对称轴对称， ∴当时，，正确； ④∵， ∴④正确； ∴正确的结论是①③④． 16. 已知矩形是上一点，连结，将沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，连接，与交于，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的折叠，勾股定理等知识，证明是解题的关键．过点作交于点，利用矩形的折叠和勾股定理等知识求出，，，证明，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解；过点作交于点， ∵矩形， ∴， ∵将沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，； 【小问2详解】 解： 可得或， ，． 18. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． （1）求证：； （2）若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】（1）证明：， ． ， 又， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： ， ， ，，， ． ． ． 19. 已知函数是二次函数： （1）求m的值； （2）当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ （3）点在这个二次函数的图象上吗？ 【答案】（1） （2）当时，的值随值的增大而增大 （3）不在 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据顶点坐标及表达式即可判断； （3）将点P的横纵坐标代入函数表达式即可验证； 【小问1详解】 解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； 【小问2详解】 解：把代入原函数，得到二次函数解析式：， 该函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，也就是时，的值随值的增大而增大； 【小问3详解】 解：把点的横坐标代入函数解析式得：， 和点的纵坐标不相等， ∴点不在这个二次函数的图象上． 20. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）与面积比为_________． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）连接对应点并延长，交点就是点P，写出坐标即可得到答案； （2）连接点O与的三个顶点并反向延长，使，连接三个顶点即可得到； （3）利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，，并延长交于点P， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与相似比为， ∴与面积比为． 21. 为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米． （1）该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”） （2）求这棵树的高度． 【答案】（1）平行 （2）5.25米 【解析】 【分析】（1）太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影； （2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【小问1详解】 太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影； 【小问2详解】 设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则 解得：x=3.75． ∴树高是3.75+1.5=5.25（米）， 答：树高为5.25米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 22. 小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2＋2.5． （1）求铅球的落点与小明的距离； （2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？ 【答案】（1）铅球的落点与小明的距离为8m；（2）会受到伤害 【解析】 【分析】（1）将点(0，1.6)代入y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5，解得k的值并根据题意作出取舍，从而可得抛物线的解析式，然后令y=0，解得x的值并作出取舍即可； （2）将x=7代入（1）中的抛物线解析式，求得y值，再与1.5比较即可得出结论． 【详解】（1）由题意知，点(0，1.6)在抛物线y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5上， ∴1.6=﹣0.1（0﹣k）2＋2.5， 解得：k=3或k=﹣3（舍去）， ∴抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5， 当y=0时，﹣0.1（x﹣3）2＋2.5=0， 解得x1=8，x2=﹣2（舍去）， ∴铅球的落点与小明的距离为8m； （2）∵抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5， ∴当x=7时，y=﹣0.1（7﹣3）2＋2.5=0.9， ∵0.9＜1.5， ∴一个身高为1.5m的小朋友会受到伤害． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数与一元二次方程的关系及求二次函数的值等知识点是解题的关键． 23. 如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． （3）求出图2中，的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）由图2中关键点和可知，； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况分别进行讨论，再根据相似三角形对应边成比例建立方程，解方程即可； （3）在中，根据勾股定理表示出，再由图像可知：当时取最小值，即可求解，的值． 【小问1详解】 解：由图2中关键点和可知： 当时，点从点出发，点从点出发， ∴，， 当时，点到达终点， ∴； 【小问2详解】 以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况： 情况一： 此时， ∴，即， 解得， 情况二 此时， ∴，即， 解得， 综上可得，当以，，为顶点的三角形与相似时，或； 【小问3详解】 ∵在中，有， ∴， 由图像可知：当时取最小值，最小值为， ∴点的坐标对应当时取最小值， ∴，． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线表达式； （2）点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 如图1，当点P在x轴的下方时， ∵，且点A，B关于直线对称， ∴点C和点P也关于直线对称， ∴点P的坐标为； 如图2，当点P在x轴的上方时， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）求出点C的坐标，再根据，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式，设点，则点，可得，，再根据，列出方程，即可求解； （3）分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 略 25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）若，F为中点，求的值； （3）若，且，直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合得到，即可证明； （2）设与交于点G，首先得到，设，则，表示出，然后由得到； （3）设，，证明，得到，表示出，，然后证明，得到，设，，利用勾股定理表示出，然后证明，得到，表示出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点G， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴ 设，则 ∵F为中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴设， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴ 设，则 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南育秀中学2024级九上数学试卷（10月） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示的几何体，其左视图为（    ） A.   B.   C.   D.   2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 5. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的周长为3，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 7. 如图，已知，下列三角形与不一定相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形中，分别为边上两点，，，连接交于点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则的值是______． 12. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为_________． 14. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 15. 已知二次函数与自变量x的部分对应值如表： 现给出下列说法： ①该函数开口向下 ②函数图象的对称轴是直线 ③当时， ④ 其中正确的结论有_______________．（只需写出序号） 16. 已知矩形是上一点，连结，将沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，连接，与交于，则_________． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． （1）求证：； （2）若，，，则直接写出CD的长为________． 19. 已知函数是二次函数： （1）求m的值； （2）当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ （3）点在这个二次函数的图象上吗？ 20. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）与面积比为_________． 21. 为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米． （1）该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”） （2）求这棵树的高度． 22. 小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2＋2.5． （1）求铅球的落点与小明的距离； （2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？ 23. 如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． （3）求出图2中，的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线表达式； （2）点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）若，F为中点，求的值； （3）若，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $