精品解析：山东省济南市济南外国语学校2024-2025学年九年级10月月考数学试题

济南外国语学校2024-2025学年度第一学期 初三数学10月质量检测试题2024年10月 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷，满40分；第Ⅱ卷，满分110分．本试题满 分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，请务必将自己的姓名、考场、准考证号、座号填写在答题卡规定的位置． 3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 第Ⅱ卷为非选择题，请用0.5mm黑色签字笔答在答题卡相应区域内，超出答题区域作答无效． 4．考试期间，一律不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了求简单组合体的三视图．根据从正面看到的图形是主视图，画出图形即可． 【详解】解：该几何体的主视图为： 故选A． 2. 若，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，可根据设，再逐个判断即可． 【详解】∵， ∴设，，， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ，，故，故B选项结论正确，符合题意； ，故C选项结论正确，不符合题意； ，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出BC，然后利用计算BE-BC即可． 【详解】∵AB∥CD∥EF， ∴，即， ∴BC=9， ∴CE=BE-BC=15-9=6． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4. 在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ） A. 小明的影子比小强的影子长 B. 小明的影子比小强的影子短 C. 小明的影子和小强的影子一样长 D. 无法判断谁的影子长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影，理解中心投影和平行投影特点和规律是解答的关键． 平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据在同一路灯下，由于位置不确定，则无法判断谁的影子长短，进而可得结论． 【详解】解：∵在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长， ∴小明的身高比小强高， ∵在同一路灯下，两人与路灯的距离不确定， ∴无法判断谁的影子长． 故选：D． 5. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 点(1，2)在它的图象上 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. 随的增大而减小 D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B、C错误； ∵点在函数的图象上， ∴ ∵点横纵坐标的乘积 ∴则点也在函数的图象上，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键． 8. 在同一坐标系中，函数y= 和y=kx﹣k的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四个选项中的一次函数的图象依据一次函数图象与系数的关系可得出k的取值范围，由此得出A、C不正确，再分析B、D中的反比例函数图象即可得出结论． 【详解】解：A、由一次函数图象可知：k＞0，−k＜0，A不正确； B、由一次函数图象可知：k＞0，−k＜0，由反比例函数图象可知：k＞0，B正确； C、由一次函数图象可知：k＜0，−k＞0，C不正确； D、由一次函数图象可知：k＜0，−k＞0，由反比例函数图象可知：k＞0，D不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐项分析k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象结合一次函数图象与系数的关系找出系数k的取值范围是关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D．将正方形ABCD沿x轴向左平移（ ）个单位长度时，点C的对应点恰好落在曲线上． A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求解的长度，如图，过作轴于 交反比例函数于 证明利用全等三角形的性质与反比例函数的解析式分别求解的坐标，从而可得答案. 【详解】解： 直线与x轴、y轴分别相交于点A，B， 令 令 则 如图，过作轴于 交反比例函数于 四边形ABCD是正方形， 则 同理： 把代入 把代入 所以将正方形ABCD沿x轴向左平移个单位长度时，点C的对应点恰好落在曲线上． 故选： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键. 10. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝AO， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可； ③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题； ④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【详解】①正确：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD， ∴∠BOC=90°， ∵BE=EC， ∴∠EOB=∠EOC=45°， ∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO， ∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确； ②正确：如图，连接AF， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=∠ABF=90°， ∴A，P，B，F四点共圆， ∴∠AFP=∠ABP＝45°， ∴∠PAF=∠PFA＝45°， ∴PA=PF，故②正确； ③正确：设BE=EC=a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a， ∴，即AE＝AO，故③正确； ④错误：根据对称性可知，， ∴==2， ∵OB=OD，BE=EC， ∴CD=2OE，OECD， ∴ ， ， ∴， ， ∴， ∴，故④错误； ⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC， ∴， ∴， ∴EQ=PE， ∴CE•EF=EQ•DE，故⑤正确； 综上所诉一共有4个正确，故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键. 第II卷非选择题（共110分） 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 已知a，b，c，d是比例线段，其中则线段d的长度为_________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据，列式计算即可． 【详解】∵，，，是比例线段，其中 ∴， ∴， 解得， 故答案为：32． 12. 若，且，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可以直接求出结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 13. 大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果的长为，那么的长是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：因为点是的黄金分割点，且， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 14. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟． 【答案】800 【解析】 【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟， 则200：10＝x：40， 解得x＝800． 故答案为：800． 【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 15. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接，    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 三．解答题（共10小题，共90分） 16. 已知，求下列算式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质； （1）将代入，即可求解． （2）将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ 17. 如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离． 【答案】（1） 即为所求；         （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．也考查了相似三角形的判定与性质． （1）延长、，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子； （2）作交于E，如图，，，，证明，利用相似比计算出即可得到路灯O与地面的距离． 【小问1详解】 解：如图，延长、，它们的交点为O点，再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子， 【小问2详解】 解：作交于E，交于F，如图，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：路灯O与地面的距离为． 18. 如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 【答案】 解法一：矩形中，，， ． ， ， ． ． 解法二：矩形中，． ，， ， ． 【解析】 【详解】略 19. 如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出． （2）在图中，线段上作点，利用格点作图使得． 【答案】（1） 即为所作； （2） 点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理，勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点，根据平行线分线段成比例定理可判断点满足条件； 掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心． 【小问2详解】 如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴． 20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）代入即可求出点n，即可求出反比例函数计算型，把代入反比例函数解析式即可求出m； （2）先求出直线解析式，进而求出△AOB面积，设点E坐标为，得到，求p的值，即可求出点E坐标； （2）根据不等式得直线位于反比例函数图形的上方，即可结合图像写出x的取值范围． 【详解】（1）把点代入中，得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得， ； （2）把代入得得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交点为， 令， ， ，如图， 的坐标为． ， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点坐标为或； （3）由不等式得直线位于反比例函数图形的上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合练习，综合性较强，理解函数图像上点的坐标的特点，函数解析式与图像的关系是解题关键． 22. 数学张老师带领九年一班全体同学到学校的操场上开展数学实践活动． 活动课题 利用投影和相似三角形的有关知识测量旗杆或学校周围建筑物的高度 活动方式 分组活动，全班交流讨论 活动工具 小镜子、皮尺等测量工具 下面是其中两个小组参与活动的情况： 小组1：活动题目：利用阳光下的影子测量操场上旗杆的高度． 活动过程：小明同学直立于旗杆影子的顶端处，小组其他成员分成两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，测量数据如下，旗杆影长7.2米，小明同学影长1.2米，测得小明身高1.8米，该小组同学带着测量数据回到教室，根据测量结果，画出如下不完整的示意图（如图1），线段表示旗杆，线段表示小明． 小组2：活动题目：利用平面镜测量学校外某建筑物上的信号塔顶距地面的高度． 活动过程：如图2，在操场上点处放一小镜子，小华从点处后退到达点处时，小华恰好在小镜子中看到信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.2米，再将小镜子沿方向后移6米放在点处（即米），小华从点处沿方向后退到点处，恰好再一次在小镜子中看到了信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.6米，并测得小华同学的眼睛距离地面的高度也为1.6米，已知，，，，在同一水平线上，且，，均与垂直，该小组同学带着测量数据回到教室． （1）请你在图1中画出小明的影子，并利用小组1的测量数据求出旗杆的高度． （2）请你利用小组2的测量数据，求出信号塔顶距地面的高度． 【答案】（1）如图，即为所求；10.8米. （2）24米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算． （1）根据题意得，，通过证明，利用相似比得到，即可求出旗杆的高度． （2）根据题意得，，通过证明，利用相似比得到①；同理得到②，由①②得，然后求出，再计算． 【详解】解：如图所示：根据题意得，， ∵ ∴ ， ，即； ∴（米） 答：出旗杆的高度米 （2）根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：信号塔顶距地面的高度24米． 23. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求当时，y与x之间的函数关系式； （2）求a的值； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）； （2）20； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，已知函数值求自变量的值，对于（1），直接点的坐标代入关系式即可得出答案； 对于（2），将点代入关系式，求出解即可； 对于（3），先求出直线关系式，再将代入两个关系式，求出解即可得出答案. 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为：， 将点代入反比例函数表达式得：， 故函数的表达式为：； 【小问2详解】 当时，， 则； 【小问3详解】 设时，函数的表达式为：， 将点代入关系式，得 ， 解得 即一次函数的表达式为：， 令，则， 解得. 在降温过程中，水温为时，， 解得：. ∵， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为． 24. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　． 【答案】（1）一 （2）图象如下所示： （3）①②； （4） 【解析】 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （4）运用（3）的相关结论即可． 【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限， 答案为：一； （2）略 （3）①把点代入得： ，解得：； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理得：， 时，两个函数有交点， 解得：； （4）由（3）得：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 25. （1）【问题发现】 如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段，之间的数量关系为 　 　；②　 　． （2）【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明． （3）【解决问题】如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当点，，三点在同一直线上时，求点到直线的距离． 【答案】（1），60 （2），．证明如下： 和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ， ， ， ； （3）到直线的距离为或 【解析】 【分析】（1）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出，然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可； （3）分两种情形：，，共线，，，共线，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）①和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 综上，可得的度数为；线段与之间的数量关系是：． ②； 故答案为：；60； （2）略 （3）分两种情况： 情况一：如图1，由题意可知在直角和直角 中，， ， ， ， ，，共线， 为直角三角形， 由勾股定理得：， ， 由（1）（2）得：， ，， ；，，， 四点共圆， 作垂足为， ， 在直角三角形中，，， ，即点到直线的距离为； 情况二：如图2，，，共线时， 同理可得，即点到直线的距离为； 综上可得：到直线的距离为或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南外国语学校2024-2025学年度第一学期 初三数学10月质量检测试题2024年10月 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷，满40分；第Ⅱ卷，满分110分．本试题满 分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，请务必将自己的姓名、考场、准考证号、座号填写在答题卡规定的位置． 3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 第Ⅱ卷为非选择题，请用0.5mm黑色签字笔答在答题卡相应区域内，超出答题区域作答无效． 4．考试期间，一律不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 4. 在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ） A. 小明的影子比小强的影子长 B. 小明的影子比小强的影子短 C. 小明的影子和小强的影子一样长 D. 无法判断谁的影子长 5. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 点(1，2)在它的图象上 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. 随的增大而减小 D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 8. 在同一坐标系中，函数y= 和y=kx﹣k的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D．将正方形ABCD沿x轴向左平移（ ）个单位长度时，点C的对应点恰好落在曲线上． A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝AO， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第II卷非选择题（共110分） 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 已知a，b，c，d是比例线段，其中则线段d的长度为_________． 12. 若，且，的面积为，则的面积为______． 13. 大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果的长为，那么的长是_________． 14. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟． 15. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 三．解答题（共10小题，共90分） 16. 已知，求下列算式的值． （1）； （2）． 17. 如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离． 18. 如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 19. 如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出． （2）在图中，线段上作点，利用格点作图使得． 20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 22. 数学张老师带领九年一班全体同学到学校的操场上开展数学实践活动． 活动课题 利用投影和相似三角形的有关知识测量旗杆或学校周围建筑物的高度 活动方式 分组活动，全班交流讨论 活动工具 小镜子、皮尺等测量工具 下面是其中两个小组参与活动的情况： 小组1：活动题目：利用阳光下的影子测量操场上旗杆的高度． 活动过程：小明同学直立于旗杆影子的顶端处，小组其他成员分成两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，测量数据如下，旗杆影长7.2米，小明同学影长1.2米，测得小明身高1.8米，该小组同学带着测量数据回到教室，根据测量结果，画出如下不完整的示意图（如图1），线段表示旗杆，线段表示小明． 小组2：活动题目：利用平面镜测量学校外某建筑物上的信号塔顶距地面的高度． 活动过程：如图2，在操场上点处放一小镜子，小华从点处后退到达点处时，小华恰好在小镜子中看到信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.2米，再将小镜子沿方向后移6米放在点处（即米），小华从点处沿方向后退到点处，恰好再一次在小镜子中看到了信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.6米，并测得小华同学的眼睛距离地面的高度也为1.6米，已知，，，，在同一水平线上，且，，均与垂直，该小组同学带着测量数据回到教室． （1）请你在图1中画出小明的影子，并利用小组1的测量数据求出旗杆的高度． （2）请你利用小组2的测量数据，求出信号塔顶距地面的高度． 23. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求当时，y与x之间的函数关系式； （2）求a的值； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　． 25. （1）【问题发现】 如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段，之间的数量关系为 　 　；②　 　． （2）【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明． （3）【解决问题】如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当点，，三点在同一直线上时，求点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $