精品解析：福建省厦门第一中学2026—2027学年度第一学期10月学业调研评估九年数学学科练习

福建省厦门第一中学2026——2027学年度 第一学期10月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行排除选项． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选D． 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题； 求出时y的值即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 3. 若一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为二次项系数为2的一般式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，把化为二次项的系数是2的一般式为； 故一次项的系数为； 故选B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根．计算出该方程的根的判别式，再结合判别式的判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， 所以该方程无实数根． 故选：． 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点是 C. 对称轴为直线 D. 函数的最小值为3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴该抛物线开口向下，故选项A错误，不符合题意； 由抛物线解析式可得，抛物线的顶点是，故选项B错误，不符合题意； 该对称轴为直线，选项C正确，符合题意； ∵该抛物线开口向下，且顶点是， ∴函数的最大值为3，故选项D错误，不符合题意． 6. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，准确求出函数值是关键．通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴ ∴ 故选：B 8. 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为，再根据方程有一个根为x＝5，根据x-1=5求解即可． 【详解】解：将关于x的一元二次方程变形，得(m≠0)， 令u=x-1，得， 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5， 关于u的一元二次方程(m≠0)有一个根为u=5， 将u=5代入u=x-1，得， 解得，x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法是解本题的关键． 9. 如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 即， ∴对称轴为直线， ∵为， ∴当时，代入解析式得， 即， ∴点到的距离为， ∴酒杯总高度为， 故选：C． 10. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论错误的是（ 　　 ）． A. ， B. ， C. 函数的最大值是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，图象过点的意义，抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴函数有最大值，且最大值为， 故C正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， 故D正确； ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A正确； 根据题意，得抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故B错误； 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的实数根是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 12. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式是． 13. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 14. ，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2028 【解析】 【分析】整体思想可以得到，利用根与系数关系得到，由此即可求得答案． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， 由根与系数关系知，， ． 15. 如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可. 【详解】解：如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 结合抛物线的对称性可得： ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，易得点为抛物线上的点，且该抛物线开口向上，进而确定该抛物线的对称轴为直线，易得；确定该抛物线的顶点坐标，结合该抛物线与直线有两个交点可得；将点代入抛物线解析式，进而获得答案． 【详解】解：根据题意，当时，，且的取值范围为或， ∴点为抛物线上的点，且该抛物线开口向上， ∴抛物线对称轴为直线，且， ∴，即， ∴， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵该抛物线开口向上，且该抛物线与直线有两个交点， ∴顶点纵坐标， ∴， 将点代入抛物线解析式，可得， ∴． 三、解答题（本大题有8小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴． 18. 请配方将二次函数化为顶点式，并画出函数图象． 顶点式： ； 列表： x … … y … … 【答案】 ． … … 【解析】 【分析】根据完全平方公式对函数解析式进行配方，并根据函数解析式与图象的关系写出函数图象的顶点坐标． 【详解】解：由配方法得： ， ∴二次函数的顶点式． 列表略 图象略 19. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 【答案】（1）>； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴>0， 解得：> ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得， ． ∵， ∴， 解得：k=0或k=2， 又∵>， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 20. 如图，二次函数的图象交x轴于原点O及点A，点D为抛物线顶点． （1）求抛物线的对称轴及点D坐标； （2）点P为抛物线上动点，满足，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的对称轴是直线，顶点的坐标为 （2）点的坐标为、、、 【解析】 【分析】（1）对二次函数的解析式配方后即可解答； （2）先求出点坐标，求出，结合，求出，点的纵坐标为，求出或，分别代入抛物线解析式求横坐标，即可解答； 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：令，则，解得（对应原点），， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设点的纵坐标为，同样以为底，高为， ∴， 解得：或， 当时，，整理得，解得； 当时，，整理得，解得， ∴点的坐标为、、、． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． 【答案】（1）， （2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据“如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利每件售价每件成本，即可解得； （2）根据总利润单件利润数量，列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：如果每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得， 解得：， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 22. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中的得分在分和分之间． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）由题可设，把代入解析式即可求出，令即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设关于的函数表达式为： 把代入得：， 解得： ∴关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由题意得，当时， ， 解得，（舍去） ∴该女生在此项考试中的得分在分和分之间． 【小问3详解】 解：由题可设， 把代入得， ∴， ∴， 将代入得， ， 则当掷出点的高度至少达到时，可得满分100． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 线段比例与高次方程研究 环节一：探索延伸发现问题 小敏在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考：将线段比例关系复杂化（例如加减、平方关系），是否会生成更复杂的方程？ 在线段上取一点C，其中，现延长至点D，使，且满足，这样的C点是否存在？为简单起见，设，． （1）线段____．（用x的代数式表示） （2）由关系可列方程____________________． 环节二：收集资料分析问题 现有知识无法解上述方程，因此小敏学习了一种新的因式分解法——试根法 ①以为例，观察发现，时，说明是方程的一个解．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，因为最高次为二次且其系数为7，另一个因式只能是一次式系数为7，故设另一个因式是． ③于是．根据对应项系数相等，得，则．所以． （3）运用上述方法因式分解：，其中______；______． 环节三：学以致用解决问题 （4）请仿照上述步骤，用试根法求解第（2）问所列的方程 （5）已知满足，请用无刻度的直尺和圆规在边上作出满足题目要求的点C． 【答案】（1） （2） （3）， （4） （5） 【解析】 【分析】（1）题中所给条件，可推导出，再将，代入即可． （2）将第一问所得条件代入到中即可． （3）由题意可按照试根法，取代入后计算是否得，再将展开后与原方程左侧各次项系数对应，建立方程组求解系数即可． （4）按照试根法，取代入中验算是否得，验算得后再将分解为，展开后对照原式求得，，对部分求解，最后结合第二问条件分析即可． （5）先连接，由勾股定理求得的长度，再分别以为圆心、为半径画弧与线段相交，为圆心、长为半径画弧与相交，两交点分别与点距离相等即可找到点． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ． 【小问2详解】 解：将，，代入中， 得， 整理得． 【小问3详解】 解：， 由题意可按照试根法，取代入， 得， 为原方程的一个根，因式含有， 将展开，得 ， 与原多项式各次项系数对应，建立方程组： ， 解得，． 验证一次项：，符合原式一次项系数， ，． 【小问4详解】 解：方程，将代入， 得， 故是方程的一个根，多项式含有因式， 设， 展开得， 对比的系数，可列方程组为 ， 解得，； 或， 解得，， ，，， ， 又时点与点重合，不满足题意，舍去，不满足题意，舍去， ，且，符合条件， 方程符合题意的解为． 【小问5详解】 解：中，，，， 尺规作图方法如下： ①由勾股定理得； ②以为圆心，为半径画弧，交线段于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； 此时，，点即为所求点，图略． 24. 已知抛物线与y轴交于点A． （1）若： ①当，时，求该抛物线与x轴交点坐标； ②点在二次函数的图像上，且，求m的取值范围． （2）若点A的坐标是，当时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）①，②或； （2）或或 【解析】 【分析】（1）①当，时，可得抛物线解析式为，令，可得，求解即可；②由可得该抛物线开口向上，再确定该抛物线的对称轴为以及抛物线经过点，由抛物线对称性可得抛物线经过，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案； （2）由点的坐标求出，易得；根据当时，抛物线与轴只有一个公共点，可得时，，即直线与抛物线交点坐标为；再确定直线与抛物线交点坐标为，然后分情况讨论，即可获得答案． 【小问1详解】 解：①当，时，该抛物线解析式为， 令，可得， 解得， ∴该抛物线与x轴交点坐标为，； ②∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴该抛物线的对称轴为， 当时，可得，即抛物线经过点， 由抛物线对称性可得抛物线经过， ∵点在该抛物线上，且当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，， ∴或； 【小问2详解】 ∵点的坐标是， ∴， ∴， 根据题意，当时，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，， ∴直线与抛物线交点坐标为， 当时，， ∴直线与抛物线交点坐标为， 分三种情况讨论： ①当时，可得， 若时，抛物线顶点在轴上，满足题意， 解得（舍去）或； ②当时，若点在轴上或轴下方，点在轴上方，满足题意， 则，解得； ③当时，若在轴上方，点在轴下方，满足题意， 则，解得． 综上所述，或或． 25. 平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与x轴交于A，两点，与y轴交于点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）是否存在直线与抛物线交于点M，N，使y轴平分的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上A，C两点之间的一动点，过点P作于点E．过点E作轴于点F，设，求的最大值． 【答案】（1） （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，先得出，再联立直线和二次函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，利用根的判别式、根与系数的关系求解即可； （3）过点作轴的垂线，交于点，延长，交于点，先得出，再设点的坐标为，求出的长，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得：， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，点的横坐标为， ∵直线与抛物线交于点，，使轴平分的面积， ∴点与点的横坐标互为相反数（理由是同底等高）， ∴， 联立得：， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式，， ∴， 解得， ∴， 解得， 综上，存在直线与抛物线交于点，，使轴平分的面积，、满足的条件是，． 【小问3详解】 解：当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作轴的垂线，交于点，延长，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵轴，，即轴， ∴， ∴点是的中点（等腰三角形的三线合一）， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴，，即， 将代入函数得：， 解得， ∴， ∴， 令，解得或（舍去）， ①当时，， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为； ②当时，， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2026——2027学年度 第一学期10月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点是 C. 对称轴为直线 D. 函数的最小值为3 6. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论错误的是（ 　　 ）． A. ， B. ， C. 函数的最大值是 D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的实数根是__________． 12. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式是__________． 13. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 14. ，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 15. 如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 16. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则m的取值范围为________． 三、解答题（本大题有8小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 请配方将二次函数化为顶点式，并画出函数图象． 顶点式： ； 列表： x … … y … … 19. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 20. 如图，二次函数的图象交x轴于原点O及点A，点D为抛物线顶点． （1）求抛物线的对称轴及点D坐标； （2）点P为抛物线上动点，满足，求点P的坐标． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． 22. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 线段比例与高次方程研究 环节一：探索延伸发现问题 小敏在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考：将线段比例关系复杂化（例如加减、平方关系），是否会生成更复杂的方程？ 在线段上取一点C，其中，现延长至点D，使，且满足，这样的C点是否存在？为简单起见，设，． （1）线段____．（用x的代数式表示） （2）由关系可列方程____________________． 环节二：收集资料分析问题 现有知识无法解上述方程，因此小敏学习了一种新的因式分解法——试根法 ①以为例，观察发现，时，说明是方程的一个解．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，因为最高次为二次且其系数为7，另一个因式只能是一次式系数为7，故设另一个因式是． ③于是．根据对应项系数相等，得，则．所以． （3）运用上述方法因式分解：，其中______；______． 环节三：学以致用解决问题 （4）请仿照上述步骤，用试根法求解第（2）问所列的方程 （5）已知满足，请用无刻度的直尺和圆规在边上作出满足题目要求的点C． 24. 已知抛物线与y轴交于点A． （1）若： ①当，时，求该抛物线与x轴交点坐标； ②点在二次函数的图像上，且，求m的取值范围． （2）若点A的坐标是，当时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围． 25. 平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与x轴交于A，两点，与y轴交于点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）是否存在直线与抛物线交于点M，N，使y轴平分的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上A，C两点之间的一动点，过点P作于点E．过点E作轴于点F，设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $