精品解析：河北石家庄市第十三中学2026-2027学年上学期九年级数学阶段练习（10月）

九年级数学阶段练习 一、单选题（每题3分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 位参加歌唱比赛的同学成绩各不相同，按成绩取前名进入决赛，如果小美知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，小美需要知道这位同学成绩的（ ） A. 平均分 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．熟练掌握中位数的意义是解题的关键．在这组数据中，除去中位数，有一半的数据比中位数大，有一半的数据比中位数小． 【详解】解：因为位进入决赛的同学的成绩肯定是名参赛选手中最高的， 而且个不同的成绩按从小到大排序后，中位数是第个和第个，中位数前后都有个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛． 故选：B． 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 4. 把方程化为的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 5. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 7. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 8. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据x个队参赛，每队与其余个队各赛1场，每两队仅赛1场，总场数为36，列出方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意可列方程为： ， 整理得：． 9. 已知，，则b的值为（　　） A. 2 B. 8 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 10. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 11. 小明在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：①原方程必定有一个根是；②当时，原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】B 【解析】 【分析】根据写错的方程的根得到a与b的关系，再分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质，进行验证说法的正确性． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为． ∵该方程其中一个根为， ∴; 将代入原方程代入原方程左边：， ∴方程左边等于右边， ∴原方程必定有一个根是．故①正确． 对于，． 由，得， ∴． 当时，，即， ∴当时，原方程有两个不相等的实数根．故②正确． 综上所述，①②都正确． 12. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 二、填空题（每题3分） 13. 有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得，． 14. 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 15. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 16. 若关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数的值的和为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，以及根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程定义，以及分式方程有意义的条件． 首先根据一元二次方程有实数根的条件，得到且；再解分式方程，得到 ，由解是非负整数且，得到，为奇数，且；综合条件得到整数的值，最后求和，即可解题． 【详解】解：关于 的一元二次方程 有实数根， 则二次项系数，即 ， 且判别式 ， 解得 ， 即 ， 所以 ． 关于的分式方程的解是非负整数，， 整理得， 即， 解得，又， 即 ，所以 ． 由解是非负整数，得，即，且为整数，故为偶数，即为奇数． 综上所述，为整数，且，，，为奇数，则满足的值为 ． 这些值的和为． 故答案为：． 三、解答题（17题共6分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题11分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 浙BA联赛开展技术对比测试，对温州队和杭州队各抽取10场比赛，统计替补球员单场总得分情况，得到以下数据： 温州队10场得分：17，18，18，19，20，21，21，21，22，23； 杭州队10场得分：11，12，15，16，19，22，24，25，25，25． 整理数据，绘制以下统计表和箱线图： 10场比赛数据统计表（单位：分） 球队 平均数 中位数 众数 温州队 a 20.5 21 杭州队 18.4 b 25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________． （2）若单场得分不低于20分记为发挥优秀，请估计温州队替补球员出战80场，发挥优秀的场次？ （3）根据以上统计量，结合箱线图，请评价温州队和杭州队替补球员的得分水平． 【答案】（1）20；20.5 （2）48场 （3）温州队的平均水平比杭州队好；两个队的中等水平一样；杭州队大多数的水平比温州队好；温州队比杭州队的得分更集中． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的求法即可求解； （2）根据样本估计总体求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数和箱线图的角度来分析即可． 【小问1详解】 解：； 杭州队得分11，12，15，16，19，22，24，25，25，25， 一共10个数据，中位数是第5、6个数的平均数， ； 【小问2详解】 解：（场） 【小问3详解】 解：从平均数的角度来分析，，说明温州队的平均水平比杭州队好； 从中位数的角度来分析，温州队的中位数与杭州队的中位数一样，说明两个队的中等水平一样； 从众数的角度来分析，杭州队的众数高于温州队的众数，说明杭州队大多数的水平比温州队好； 从箱线图的角度来分析，温州队比杭州队的得分更集中． 20. 某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． （1）该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每件文创产品的售价应降低10元； （2）每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【解析】 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【小问1详解】 解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； 【小问2详解】 略． 21. 如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： （1）填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） （2）当时，为何值时，可使； （3）当为何值时，的面积为． 【答案】（1），，， （2）为，可使 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； 【小问3详解】 解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 22. 问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，、红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元，100元，60元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （1）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （2）求与之间的函数表达式； （3）当购买花卉的总费用为3520元时，求的长． 【答案】（1）红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为 （2） （3） 【解析】 【分析】（）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积黄色花卉的种植面积； （）根据总费用各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； （）根据()的解析式得出，求出，可得，然后设，由全等三角形的性质和勾股定理得出，解方程求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵， ∴， ∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； 【小问2详解】 解：， 即； 【小问3详解】 解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段练习 一、单选题（每题3分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 位参加歌唱比赛的同学成绩各不相同，按成绩取前名进入决赛，如果小美知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，小美需要知道这位同学成绩的（ ） A. 平均分 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 把方程化为的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 8. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则b的值为（　　） A. 2 B. 8 C. 10 D. 10. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 小明在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：①原方程必定有一个根是；②当时，原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①对，②错 D. ①错，②对 12. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 二、填空题（每题3分） 13. 有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 14. 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 16. 若关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数的值的和为________． 三、解答题（17题共6分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题11分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 浙BA联赛开展技术对比测试，对温州队和杭州队各抽取10场比赛，统计替补球员单场总得分情况，得到以下数据： 温州队10场得分：17，18，18，19，20，21，21，21，22，23； 杭州队10场得分：11，12，15，16，19，22，24，25，25，25． 整理数据，绘制以下统计表和箱线图： 10场比赛数据统计表（单位：分） 球队 平均数 中位数 众数 温州队 a 20.5 21 杭州队 18.4 b 25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________． （2）若单场得分不低于20分记为发挥优秀，请估计温州队替补球员出战80场，发挥优秀的场次？ （3）根据以上统计量，结合箱线图，请评价温州队和杭州队替补球员的得分水平． 20. 某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． （1）该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： （1）填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） （2）当时，为何值时，可使； （3）当为何值时，的面积为． 22. 问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，、红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元，100元，60元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （1）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （2）求与之间的函数表达式； （3）当购买花卉的总费用为3520元时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $