精品解析：河北石家庄市第四十四中学2026-2027学年上学期初三年级第一次阶段学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期初三年级月考数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 移项得． 配方：， 即． ∴ 比较 ，得：； 故选B． 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D说法错误，不符合题意． 4. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 5. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握根据图形边长关系列方程的方法是解题的关键． 先根据车道宽度米，求出停车位区域的长和宽，再根据停车位面积=停车位长×停车位宽列出方程，最后对照选项选出正确答案． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米， 根据题意得，， 故选：A． 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2019 B. 2018 C. 2015 D. 2016 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 11. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 12. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共15分） 13. 已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设诸侯共有x人，则每人行礼次，又每两人都相互行礼一次，故x人共行礼次，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设诸侯共有x人，则每人行礼次， 由题意得：， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 故答案为：6． 15. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 16. 二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 三、解答题（本大题共8个小题，共69分） 17. 用合适的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴ ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 19. 已知二次函数 （1）该二次函数图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ； 将该二次函数写成顶点式为 ． （2）若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式 ． ②若，则y的取值范围是 ． 【答案】（1）直线；； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）配方法将一般式化成顶点式，直接读出对称轴、顶点． （2）①直接把经过的点代入求参数，即可得出表达式；②根据开口向上，区间比较端点到对称轴距离确定最大、最小值． 【小问1详解】 解： 所以对称轴为直线，顶点坐标为， 顶点式写成：． 【小问2详解】 解：①把点代入， ， 解得， ． ②，抛物线开口向上，对称轴直线， 当时，取得最小值，； 比较区间端点： 当时，； 当时，． 在范围内，函数最大值为． 的取值范围是． 20. 我们知道：，所以． 解答下列问题： （1）填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） （2）已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）2；1； （2）．理由如下： ， ． ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【小问1详解】 解：设， 则． 所以，； 【小问2详解】 略 21. 已知二次函数（b为常数）的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，y有最大值7，最小值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式； （2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数）的图象经过，两点， ∴该函数的对称轴为直线，则， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后的坐标为， 将代入中，得， 解得或（舍去）， 故m的值为4； 【小问3详解】 解：当时，， ∴顶点坐标为， 由于抛物线开口向下，又当时，有最大值7，最小值， ∴当时，取最大值7， ∵当时，， 又点关于对称轴对称的点的坐标为， ∴． 22. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求的面积； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入，求出的值，得出抛物线解析式，配方即可求出抛物线顶点坐标； （2）根据（1）中所求解析式，求出、坐标，即可求出的面积； （3）连接，交对称轴于，连接，根据二次函数的对称性得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，根据顶点坐标可得对称轴为直线，把代入的解析式即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）可知，抛物线的解析式为， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，交对称轴于，连接， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得, ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点坐标为． 23. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 （1）设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为               元，A品的销量为             件，每件B品的利润为               元，B品的销量为               件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 （2）若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 【答案】（1）；；12；； （2）A品的销量为件，B品的销量为件，最大值为4800元 【解析】 【分析】（1）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为4800元， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 24. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚（如图①）成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图②所示的是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 【答案】（1） （2）这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方，理由如下： 将代入，得， 解得，， ∴， ， ∴这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方； （3） 【解析】 【分析】由题可得，抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法解答即可； 求出点坐标，再求出车头到点的水平距离，与比较即可判断求解； 利用待定系数法可得直线的解析式为，设点的坐标为，得点的坐标为，即得到，再利用二次函数的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：由题可得，抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线，点在抛物线上， ∴设点的坐标为， 轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴钢架长度的最大值是米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期初三年级月考数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 4. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2019 B. 2018 C. 2015 D. 2016 10. 如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 11. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 12. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共15分） 13. 已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 14. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 15. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共69分） 17. 用合适的方法解方程 （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 19. 已知二次函数 （1）该二次函数图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ； 将该二次函数写成顶点式为 ． （2）若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式 ． ②若，则y的取值范围是 ． 20. 我们知道：，所以． 解答下列问题： （1）填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） （2）已知，请判断的大小关系，并说明理由． 21. 已知二次函数（b为常数）的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，y有最大值7，最小值，直接写出n的取值范围． 22. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求的面积； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 23. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 （1）设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为               元，A品的销量为             件，每件B品的利润为               元，B品的销量为               件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 （2）若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 24. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚（如图①）成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图②所示的是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $