精品解析：山西长治市实验中学等校2026-2027学年第一学期第一次学业调研测试九年级数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学业调研测试 九年级数学试题 考试时间120分钟，满分120分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每一个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、的被开方数含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意． 2. 若有意义，则实数x的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为0，二次根式内的式子为非负可求得． 【详解】要使式子有意义 则 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分母不为零、二次根式有意义的条件，如本题，二次根式做分母，则要求二次根式内的式子为正数．掌握分母不为零、二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则运算判断． 【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意； B、 ，原计算错误，本选项不合题意； C、 ，计算正确，本选项符合题意； D、，原计算错误，本选项不合题意. 4. 已知，，用含的代数式表示，这个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 5. 在直角三角形中，两条直角边长为和，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，结合直角三角形的两条直角边长为和，计算即可得此直角三角形的斜边长. 【详解】解：根据勾股定理得： 直角三角形的斜边长为：， ∴直角三角形的斜边长为. 6. 下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，即 ∴，有两个不相等实数根； ∵，即， ∴，没有实数根； ∵， ∴，有两个相等实数根； ∵， ∴，没有实数根． 7. 一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为，那么所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用增长率公式代入相关量即可． 【详解】解；; 故选C． 【点睛】本题考查了从实际问题当中抽象出一元二次方程的问题，该问题涉及到了增长率（下降率），解题关键是牢记公式，即（其中， a是原来的量，x是增长率或下降率，n是增长或下降的次数，b是现在的量）． 8. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 9. 用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 【详解】解： ∴， 其中， ∴， ∴． 10. 如图，在长40米，宽30米的方形空地上修建同样完的道路（图中阴影部分），剩余的地上种植草坪，草坪的面积是道路总面积的4倍．设道路的宽为米，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为（）m，宽为（30−x）m的矩形面积，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形， 长为（40−x）m，宽为（30−x）m， ∵草坪的面积是道路总面积的4倍， ∴草坪的面积占矩形面积的， ∴可列方程为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由数轴得，a>2且a<5， 所以a-5<0，a-2>0， 原式=5-a+a-2=3． 故答案为：3 12. 方程的根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ∴． 故答案为：． 13. 根据表格中的对应值，一元二次方程其中一个解的取值范围是______． 3.1 3.2 3.3 3.4 -0.92 -0.34 0.29 1.76 【答案】 【解析】 【分析】利用x＝3.2时，ax2＋bx＋c＜0，而x＝3.3时，ax2＋bx＋c＞0可判断当时，ax2＋bx＋c＝0． 【详解】的解，即为当时的取值， 由图知，当， ， ∴在时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 14. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 原式； 【小问2详解】 解： 原式    ． 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， 其中：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴或， 解得：． 18. 小李同学在计算时，解题过程如下： （1）在以上解题步骤中用到了 （多选）； A．等式的基本性质 B．二次根式的性质： C．二次根式的乘法法则： D．通分 （2）小李同学算完后，发现式子的计算方法很复杂，请你写出一种简便的方法计算此题． 【答案】（1）BCD （2）解： 【解析】 【分析】（1）根据算式的计算过程得出选项即可； （2）先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：小李同学在计算过程中把化成最简二次根式，得到了， 把化为，用到了二次根式的乘法法则、通分， 小李同学在解题过程中用到了二次根式的化简、二次根式的乘法法则和通分； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 【答案】（1）m＜1；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可． 【详解】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1， 即实数m的取值范围是m＜1； （2）由根与系数的关系得：x1+x2=2， 即， 解得：x1=2，x2=0， 由根与系数的关系得：m=2×0=0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键． 20. 如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．求： （1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； （2）长方体盒子的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积求解； （2）利用长方体的体积公式求解． 【小问1详解】 解：制作长方体盒子的纸板的面积为； 【小问2详解】 解：长方体盒子的体积为． 21. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）1， （3）12或28 【解析】 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【小问1详解】 解：将等式右边完全平方展开： ，  ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． 【小问2详解】 解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、​． 【小问3详解】 解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学业调研测试 九年级数学试题 考试时间120分钟，满分120分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每一个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若有意义，则实数x的取值范围为( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，用含的代数式表示，这个代数式是（ ） A. B. C. D. 5. 在直角三角形中，两条直角边长为和，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为，那么所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长40米，宽30米的方形空地上修建同样完的道路（图中阴影部分），剩余的地上种植草坪，草坪的面积是道路总面积的4倍．设道路的宽为米，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 12. 方程的根为___________． 13. 根据表格中的对应值，一元二次方程其中一个解的取值范围是______． 3.1 3.2 3.3 3.4 -0.92 -0.34 0.29 1.76 14. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________． 15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 小李同学在计算时，解题过程如下： （1）在以上解题步骤中用到了 （多选）； A．等式的基本性质 B．二次根式的性质： C．二次根式的乘法法则： D．通分 （2）小李同学算完后，发现式子的计算方法很复杂，请你写出一种简便的方法计算此题． 19. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 20. 如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．求： （1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； （2）长方体盒子的体积． 21. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $