1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课时作业 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 3．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知正方体 的棱长为 ，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线 与 所成的角为 B．三棱锥 的体积为 C．直线 与平面 所成的角为 D．平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 7．已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到直线的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到平面的距离为 三、填空题 8．已知两平面的法向量分别为，，则这两个平面夹角的余弦值为__________． 9．正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 四、解答题 10．已知空间中三点，，. (1)若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； (2)求的面积. 11．在空间直角坐标系中，，，，直线的方向向量为． (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 参考答案 1．C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 2．B 【详解】设直线与平面的夹角为，则， 由，解得. 3．D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 4．B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 5．A 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 6．AB 【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，． A：，，，所以 ，两异面直线所成的角为 ，正确． B： 是以 为直角边、边长为 的等腰直角三角形，面积 ； 点 到平面 的距离为 ，所以 ，正确． C：平面 的一个法向量 ．设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ，，错误． D：，．设平面 的法向量为 ， 由 ，得，取，得 ． 设两平面所成的锐二面角为 ，则 ，，错误． 7．ACD 【分析】根据正方体的特征建立如图所示的空间直角坐标系，利用距离公式可求各选项中距离，故可得正确的选项. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 则，. 又，故. 对于A，，， 故点到直线的距离为，故A正确. 对于B，，， 故点到直线的距离为， 故B错误. 对于C，，，故， 而不共线，故， 因平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 所以平面平面， 故平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故C正确. 对于D，，， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故D正确. 8． 【分析】本题关键在于：利用向量方法求面面夹角即可. 【详解】设两平面夹角为，则． 故答案为：. 9．/ 【分析】如图，取的中点，连接交于点，连接，可知异面直线与的距离为点到平面的距离，根据三棱锥等体积法计算即可得出结果. 【详解】 取的中点，连接交于点，连接 则点为线段的中点，为的中位线，又， 有，且， 所以异面直线与的距离为到平面的距离， 即点到平面的距离，设该距离为， 由题意得，， 由，得， 解得,故异面直线AC与的距离是：. 10．(1) (2) 【分析】（1）由是平行四边形得到，通过计算得解； （2）利用向量的数量积求出，结合向量的夹角的范围求出，利用三角形面积公式求出的面积． 【详解】（1）设，因为是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （2）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 11．(1) (2) 【详解】（1）因为， 则直线与直线所成角的余弦值为， （2），设面的法向量为， 则，即，令，则，故， 因此直线与平面所成角的正弦值为 12．(1) (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （2）求出向量，再由向量法求解. 【详解】（1）因为平面，且， 所以，如图以点为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得， 因为为棱的中点，所以， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）因为， 所以点到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $