1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量的距离与夹角问题，通过基础计算、综合应用及探究拓展三层设计，构建从单一知识点到复杂情境的巩固路径，适配新授课知识内化与能力进阶需求，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一距离/夹角计算|如正方体中二面角余弦值、点到平面距离等基础题型，强化空间向量工具直接应用| |综合应用|多知识点交叉|结合动点、多面体（平行六面体、四棱锥）的异面直线成角、面面距离计算，提升模型构建能力| |探究提升|动态与存在性问题|含线段上动点位置探究、线面角正弦值存在性论证，发展逻辑推理与创新意识|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课后同步作业 （限时：45分钟） 1．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 5．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 9．（多选）如图，在棱长为3的正方体中，是棱上的点，，则（　　） A．直线与直线所成角的正切值是 B．直线与平面所成角的正切值是 C．点到直线的距离为 D．三棱锥外接球的表面积为 10．（多选）已知正方体的棱长为2，为正方体的中心，点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 11．棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 12．在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 13．已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 14．如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 15．如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点．    (1)求． (2)证明：． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课后同步作业 （限时：45分钟） 1．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 2．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 3．在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，建立空间直角坐标系，设点，得出向量坐标，利用向量数量积公式结合已知条件得出，再利用向量的模的计算公式求出，最后求出线面角的正弦值． 【详解】设，以为原点，为轴，为轴，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， ， ，即， 同理，即 设，则， ， ，解得， 直线与平面夹角的正弦值等于点到平面的距离与的比值，即． 故选：B． 4．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 5．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 6．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量在上的投影，再利用勾股定理求得点到线的距离. 【详解】已知，，， 则，， 设向量与夹角为， 则在上的投影为， ，． 所以， 点到直线的距离，， 则． 故选：D． 7．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 8．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 9．（多选）如图，在棱长为3的正方体中，是棱上的点，，则（　　） A．直线与直线所成角的正切值是 B．直线与平面所成角的正切值是 C．点到直线的距离为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，连接， 因为， 所以直线与直线所成角即是直线与直线所成角， 因为平面，所以， 又，所以，A正确； 对于B，过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以直线与平面所成角为， 且，所以， 所以，B错误； 对于C，连接，， 所以， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 所以，C正确； 对于D，由图可知三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 故直径为，所以其外接球的表面积为，D正确. 10．（多选）已知正方体的棱长为2，为正方体的中心，点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量和直线的方向向量，根据向量关系即可判断AB；由空间向量点到平面的向量公式可判断C；求出平面、平面的法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 所以, 设平面的法向量为， 则，令，则， 因为， 所以平面，故A正确； 因为， 所以不与平面平行，故B错误； 因为, 所以由点到平面的距离公式得，故C错误； 由题意可知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则，故D正确. 11．棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 12．在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】依题意可知两两相互垂直，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 在中，，，，所以, 设，则， ，则， 设异面直线与所成角为，， 则， 所以. 13．已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，分别以为轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量求法求解即得.. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 14．如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． (2)存在，． 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 15．如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点．    (1)求． (2)证明：． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明：取的中点，连接，．因为为正三角形，所以． 根据三棱台的性质可得． 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，． 因为，， 所以，则，即 (3)． 【详解】（1）解：因为为正三角形，所以根据三棱台的性质可得为正三角形， 由，，得的面积，的面积， 所以三棱台的体积，解得． （2）略 （3）解：连接，且． 设平面的法向量为， 则，， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 因为为锐角，所以，即直线与平面所成角的余弦值为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $