辽宁锦州市实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学学科检测 时间：100分钟总分120分 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 C.a=2,b=V5,c=2W5,d=10 D.a=0b=3,c=1,d=10 2.用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是(） A.(x-2)2=5B.(x-2)2=3C.(x+2)2=5D.（x+2)2=3 3.“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中 处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP >PB),如果AB的长度为8cm,那么AP的长度是()cm. A.12-4W5 B.4V5+4 C.9-4V5 D.4V5-4 A D E 3题图 5题图 4.根据下列表格的对应值： x 1…2 11 1.2 1.3 x2+12x-15 -2 -0.59 0.84 2.29 4月 由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个根满足( ) A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.:x>1.3 5.如图，4∥2∥3，AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 6.下列说法正确的是（) A.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形 C.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 数学试卷第1页共6页 7.一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学， 然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了， 根据以上情境，可列方程为() A.x+(x+1)x=49B.x+（x+1)2=49C.1+x+x2=49D.1+x+(x+1)x=49 8.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴 影三角形与原三角形不相似的是() D 18cm 78 8题图 9题图 10题图 12题图 9.如图，在菱形ABCD中，分别以C,D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧分别交于点M, W,连接MN,若直线MN恰好过点A与边CD交于点E,连接BE,则下列结论错误的是 () A.∠BCD=120°B.若AB=3,则BE=4C.CE=2BCD.SAADE=2 SAABE 10.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AD边上一点，将△ABE沿BE所在直线折叠 得到△HBE,DH的延长线交BC于点F.若∠DEH=60°，则FC的长为（) A.4-2V5 B.1 C.8-4w3 D.23-2 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11.若=3，则= 12.《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的 学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为10cm,像距为18cm, 蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛火焰的高度是 cm. 13.若关于x的一元二次方程2x2-mx-1=0的一个实数根是-1，则m的值是一。 数学试卷第2页共6页 14.如图，矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD交于点O,DH⊥AC,垂足为点H,若 ∠ADH=2∠CDH,则AD的长为 B 14题图 15题图 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到 △A1B1C,满足A1B1∥AC,过点B作BE⊥A1C,垂足为E,连接AE,若SMBE=3 SMCE,则 AB的长为 三.解答题（共8小题，其中16题12分，17题8分，18题8分，19题8分，20题7分，21题7分，22 题12分，23题13分，共75分) 16.（12分).解下列方程： (1)(x-1)2-4=0: （2)x2-4x=2. (3)2x2-2x-1=0; (4)(x-2)2=3x-6. 17.(7分).如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是AD的中点，连 接OE,过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F,连接AF (1)求证：△AOE≌△DFE; (2)判定四边形AODF的形状，并说明理由. A E 数学试卷第3页共6页 18.(7分).某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每 千克49元. (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率： (2)若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变 的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现 该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少 元？ 19.(8分).如图，在△ABC中，BC=3,D为AC延长线上一点，AC=3CD,∠CBD=∠A, 过D作DH∥AB,交BC的延长线于点H. （1)求证：△HCD∽△HDB. (2)求DH长度. B 20.(8分).关于x的一元二次方程x2-(m+3)+2（m+1)=0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程有两个实数根为，2，且x好+x行=20，求m的值. 21.(8分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6Cm,BC=8cm,点P从点A开始，沿AB 边以1cms的速度向点B运动：点2从点B开始，沿BC边以2cms的速度向点C运动，当 点P运动到点B时，运动停止，如果P、2分别从A、B两点同时出发，设动点运动时间为1 秒. (1)几秒后△PB2的面积等于8cm2? (2)几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ Q 数学试卷第4页共6页 22.(12分).阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形 式，然后由（x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值. 例题：求多项式x2-6+11的最小值. 解：x2-6+11=(x-3)2+2 ,(x-3)2≥0 .(x-3)2+2≥2 .当x=3时，（x-3)2+2=2 ∴.(x-3)2+2有最小值，最小值为2，即x2-6x+11的最小值为2. 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式A=x2-10x+30,则A的最小值为 ②代数式B=-y48y-10,则B的最大值为一。 (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是(3a+2)米、 (2a+5)米，乙种植园的两边长分别是5a米、(a+5)米，试比较这两块种植园的面积Sp 和S,的大小，并说明理由。 （3)【创新应用】如图，在三角形ABC中，∠C=60°，BC=8,记AB=a,AC=b,当 b-2a2最大时，求此时b的值. B 23.(13分).(1)如图1，四边形ABCD为正方形，E为CD边上一点，F为BC延长线上 一点，G,H分别是BE,DF的中点，连接GH.且CE=CF,试猜想：BE与DF之间的数量 关系为 一·GH与BE之间的数量关系为 (2)如图2，四边形ABCD为矩形，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，G,H分 别是BE,DF的中点，连接GH.BC=12,AB=6,且CE=2CF,GH=5V2,求BE的长 (3)如图3，四边形ABCD为平行四边形，BC=AC=5,AB=6,E为CD边上一点，F 为4C延长线上-点，连接DFG,H分别是BE,DF的中点，连接GA,晋-各当铝号时， 求CE的长. D H H G 图1 图2 图3 参考答案 选择题（共10小题，每题3分) 题号 1 2 3 4 5 6 10 答案 B D D B B D D 二.填空题（共5小题，共15分） 2:12号：1B1435:154N5 三.解答题（共8小题，其中16题12分，17题8分，18题8分，19题8分，20题7分，21题7分，22题12分，23 题13分，共75分) 16解：(1)(x-1)2=4, x-1=2或x-1=-2, 2分 .x1=3,x2=-1: 3分 (2)x2-4x+4=2+4, (x-2)2=6, l分 x-2=V6或x-2=-√6， 2分 x1=√6+2，x2=√6+2 3分 (3)2x2-2x-1=0, ,a=2,b=-2,c=-1 .=b2-4ac=(-2)2-4×2×（-1)=12>0, 1分 x=-生6-4as2±V12=1士3 2分 2a 4 2 即xM=1V3 2 3分 2 (4)(x-2)2=3x-6, (x-2)2-3(x-2)=0, .1 分 (x-2)(x-2-3)=0, 即(x-2)=0或x-5=0, 2分 解得：x1=2,x2=5. 3分 17.(1)证明：，E是AD的中点， .AE=DE, 分 DF∥AC, ∴.∠OAD=∠ADF, .2分 ,∠AEO=∠DEF, ∴.△AOE≌△DFE. 3分 (2)解：四边形AODF为矩形. 理由：，△AOE≌△DFE, ∴AO=DF, 4分 ,DF∥AC, ∴四边形AODF为平行四边形， .5分 ,四边形ABCD为菱形 AC⊥BD, 即∠AOD=90° 6分 .平行四边形AODF为矩形 7分 18.解：（1)设每次下降的百分率为x,则： 】分 64(1-x)2=49 ………2分 15(舍去)， x1令125%x2 答：每次下降的百分率为12.5%. 3分 (2)设每千克应涨价y元，则： 。。。，。。。，。，，，。。。。g。。。。。。。,。 (10+y)(500-20y)=6000, 5分 y1=10,y2=5, 6分 尽可能减少库存， 选择较小的涨价幅度y=5, 答：每千克应涨价5元. 7分 19.解：（1)证明：DH∥AB, ∴.∠A=∠HDC, ………1分 ∠CBD=∠A, ∴.∠HDC=∠CBD, 2分 又∠H=∠H, ∴.△HCD∽△HDB: 3分 (2)DH∥AB, CD=C阻 AC BC 4分 .AC=3CD, 1=C咀， 33 ∴.CH=1, 5分 ∴.BH=BC+CH=3+1=4, 6分 由(1)知△HCD∽△HDB, :D盟=CH BH DH 7分 ∴.DH2=4X1=4, .DH=2 8分 20.解：(1)△=[-(m+3)]2-4X1×2(m+1)=m2-2m+1=(m-1)2≥0， 方程总有两个实数根： 3分 (2)x1+x2=m+3,x1x2=2(m+1), 5分 x3+x3=20,即(x1+x2)2-2x1x2=20, 6分 .(m+3)2-2×2(m+1)=20, 7分 解得：m1=3,m2=-5. 8分 21解：06-024=8， .2分 整理得，2-6+8=0， 解得1=2,12=4， 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2: .4分 BP BQ (2)①若△BPQ∽△BAC,则= BA BC -告 6 整理得，201=48， 解得：=号 6分 ②若△BPQ∽△BC4,则BP= 二BA BC g-若 8 整理得，221=36， 解得：=是 综上所述， 秒或号秒后以R、原、Q为顶点的三角形与△BC相似。 .8分 11 22.(1)①A的最小值为5， 1分 ②B的最大值为6. 2分 (2)S>Sz,理由如下： 3分 ,Sm=(3a+2)(2a+5)=6a2+19a+10,Sz=5a(a+5)=5a2+25a, 5分 .Sm-Sz=6a2+19a+10-(5a2+25a)=a2-6a+10=(a-3)2+1, 6分 .(a-3)2≥0， .(a-3)2+1>0, ..Sm-Sz>0, .Sm>SL: 7分 (3)由题意，作AD⊥BC于点D, 8分 C D Q ∠C=60°， .∠CAD=30°， 又，AC=b, :.CD=1AC=1b. 2 2 9分 BC=8, BD=8-1b. 2 在Rt△ADB中，AD2=AB2-BD2, 在Rt△ADC中，AD2=AC2-CD2」 ∴AB2-BD2=AC2-CD2. AB=a, 2 2 a2-(8b)=b2-哈b 化简，得a2=b2-8b+64. 10分 .b2-2a2=b2-2(b2-8b+64)=-b2+16b-128 11分 =-(b-8)2-64. (b-8)2≥0， .-(b-8)2≤0， b2-2a2=-(b-8)2-64≤-64， ∴.当b=8时，b2-2a2取得最大值。 12分 23.解：(1) BE=DF 1分 GH-V BE: 2 3分 (2)连接CG,CH, D E H G ,矩形ABCD中，∠BCD=90°， ∴.∠BCE=∠DCF=90°， .BC=12,AB=CD=6,CE=2CF, :C=Cg=2, CD CF ∴.△CBE∽△CDF, 5分 :BE-BC=2,∠BEC=∠R, DF CD G,H分别是BE,DF中点， 0G=G=号BE,CH=DH分DF,， 6分 E ∴.∠BEC=∠ECG,∠FDC=∠DCH, CG_2 GH 1DF 驱2， D 2 ∴.∠GCH=∠GCD+∠DCH=∠F+∠FDC=90°，CG=2CH, 7分 +CH-VCG2CH2-V5cG. 2 8分 6H5. :GH=5√2， BE=4V10: 9分 (3)连接CG,CH,延长CG交AB于点I,连接EI, A D B ,在平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∴.∠BCE+∠ADC=180°，BC=AC=5,AD=BC, .AD=AC ∴.∠ADC=∠ACD, .∠ACD+∠DCF=I80°， '.∠BCE=∠DCF, .AB=CD=6, :BC=5 DC 6 .CE_5 CF 6 ..BC_CE DC CF ∴△CBE∽△CDF, ∴.∠CBE=∠CDF, 10分 ,G、H分别是BE,DF中点， .CG_BE_BC_5 CH DF CD 6 ..EC_BG DC DH ∴.△BCG∽△DCH, ∴.∠BCG=∠DCH, ∴.∠BCG+∠DCG=∠DCH+∠DCG, 即∠GCH=∠BCD, ..CB_CG CD CH ..CB_CD CG CH ∴.△CGH∽△CBD, …1】分 .GH_2 BD 5 :Cg=衄_2 CB BD 5 .CG=2, ,∠GBI=∠GEC,BG=EG,∠BGI=∠EGC, ∴.△BGI≌△EGC(ASA), ∴.CE=BI,CG=G=2, .C=4, …12分 过点C作LMB于点，则AJ=BJ=2AB=3, ∴CJ=VAC2-AJ2=4: ∴CI=C, .点1、J重合， .AI=AJ=3. ∴.CE=3. 13分