精品解析：辽宁瓦房店市第三初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段性测验数学试卷

九年级（上）月考数学试卷 （共23题，满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象与轴的交点的情况是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 5. 对于二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象关于轴对称 C. 有最小值0 D. 当时，随的增大而减小 6. 若是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是关于的一元二次方程，则_______ 12. 抛物线的顶点坐标为______． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为______． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出个小分支，那么根据题意可以列方程为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 某小区在宽，长的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 19. 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆． （1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ （2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用　 　辆． 20. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求的取值范围． 21. 某跳水运动员在进行一次跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，为安全和空中姿势优美，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴,为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）图中米,米，若跳水运动员在区域内入水时才能达到训练要求，试通过计算说明这次跳水是否能达到要求． 22. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为、，则，． 材料2：已知实数、满足，，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为、，则 ， ． （2）已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 23. 如图，抛物线与轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴相交于点C，连接． （1）求点，点的坐标． （2）点为轴上一点，且，求点的坐标． （3）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交于点．过点作，垂足为，求线段的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷 （共23题，满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，能够整理为形式的函数为二次函数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，不合题意； B、，是二次函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，不是二次函数，符合题意； 故选D． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 函数的图象与轴的交点的情况是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当时，，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程解的问题． 【详解】解：由函数得， 当时，， 则， ∴一元二次方程无实数根， ∴函数的图象与轴无交点， 故选：． 5. 对于二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象关于轴对称 C. 有最小值0 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向、对称轴、顶点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A，二次函数中，二次项系数大于0，因此图象开口向上，说法正确，不合题意； B，二次函数图象关于轴对称，说法正确，不合题意； C，开口向上，顶点坐标为，因此有最小值0，说法正确，不合题意； D，开口向上，顶点坐标为，因此当时，随的增大而增大，选项中说法错误，符合题意； 故选D． 6. 若是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元一次方程，将代入方程，建立关于m的一元一次方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入， 得：， 解得：， 故选：D． 7. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到新的抛物线解析式为 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而减少， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：B． 9. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m、n是关于x的方程的两个根， ∴，， ∴， 故选A 10. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系、抛物线的性质等知识点，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向上可得，对称轴为可得通时判定②；与y轴交于负半轴可得，即可判定①；根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；由图象可知，当时，可推出③错误；根据函数图象即可判断④；当时，函数有最小值，进而判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线，故②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，， ∴当时，，故③错误； 由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大，故④错误； ∵且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴当m为任意实数时，， ∴，故⑤正确． 综上所述，说法正确的是②⑤，共2个． 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是关于的一元二次方程，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程最高次项次数为2且二次项系数不为0的条件分析即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得：． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象的性质，结合不等式的条件，写出解集即可． 本题考查了一次函数与抛物线的图象关系，熟练掌握运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得不等式的解集为． 故答案为：． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出个小分支，那么根据题意可以列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先梳理主干、支干、小分支的数量关系，然后根据总数量列方程． 【详解】解：主干的数量为1，是固定值； 设每个支干长出个小分支， 根据“主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支”可知， 支干的数量为个，小分支的数量为， 根据“主干、支干和小分支的总数是91”可以列出方程：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 移项得， 因式分解得， 或 或 【小问2详解】 方程有两个不相等的实数根 ， 17. 某小区在宽，长的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路宽为2米． 【解析】 【分析】利用平移法将不规则的草坪图形转化为规则的矩形，从而简化面积表达，并根据题意列出方程求解，最后需根据实际意义对解进行取舍．观察图形可知，道路将矩形地面分割成了几块草坪。直接计算每一块草坪的面积比较繁琐，利用平移的思想，可以将图中的横向道路向上（或向下）平移至矩形边缘，将纵向道路向左（或向右）平移至矩形边缘，经过平移后，分散的草坪部分就拼凑成了一个完整的新矩形． 【详解】解：设道路的宽为米，原矩形地面的长为，宽为， 平移后，新矩形（草坪）的长变为，宽变为， 根据题意，得 整理得 解得， 因为矩形地面的宽只有，道路的宽度x必须小于20， 大于20，不符合实际情况，故舍去， 所以，道路的宽只能是． 答：道路宽为2米． 【点睛】遇到面积问题时，往往借助于面积公式列方程，如果图形中出现不规则的图形往往转化为规则的图形求解． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 又 ． 19. 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆． （1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ （2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用　 　辆． 【答案】（1）25%；（2）12500 【解析】 【分析】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，根据等量关系：8月份租用单车次数×（1+增长率）2=10月份租用单车次数，即可列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据：10月份租用单车次数×（1+月平均增长率）即可得11月份单车租用次数的辆数． 【详解】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，则由题意可得： 解方程，得：或（舍去） 即该区单车租用次数的月平均增长率是25%； （2）（辆） 即11月份单车次数租用12500辆； 故答案为：12500． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系并列出方程是关键． 20. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （）根据题意解方程组得到二次函数的解析式为，求得抛物线与轴的交点坐标为，于是得到当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 则设， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 21. 某跳水运动员在进行一次跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，为安全和空中姿势优美，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴,为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）图中米,米，若跳水运动员在区域内入水时才能达到训练要求，试通过计算说明这次跳水是否能达到要求． 【答案】（1） （2）这次跳水能达到要求 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（抛物线型运动轨迹问题），解题的关键是根据题意建立直角坐标系，确定抛物线的顶点坐标与已知点坐标，利用顶点式求解析式，再通过函数值求解实际问题． （1）先根据题意确定直角坐标系：以为横轴、为纵轴，结合“跳板长2米、米”及“离起跳点水平距离1米时达最大高度4米”，得出抛物线顶点坐标为，起跳点坐标为；设抛物线顶点式，将点坐标代入，求解的值，即可得到抛物线解析式． （2）先明确“入水”对应函数值，将代入抛物线解析式，求解对应的值（即入水点的水平坐标）；再根据米、米确定合格区域的范围，判断入水点的水平坐标是否在该范围内，进而说明能否达到训练要求． 【小问1详解】 如图所示：可得抛物线顶点坐标， 设抛物线解析为：， 则，解得：， 故抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：由题意可得：当，则， 解得：， 故抛物线与x轴交点为：， 则这次跳水能达到要求． 22. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为、，则，． 材料2：已知实数、满足，，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为、，则 ， ． （2）已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，且， 、可看作方程， ，， ， ； 【小问3详解】 解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两根， ，， ． 23. 如图，抛物线与轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴相交于点C，连接． （1）求点，点的坐标． （2）点为轴上一点，且，求点的坐标． （3）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交于点．过点作，垂足为，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）点的坐标分别为、 （2）点的坐标为 （3）的最大值为，此时点 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据各点坐标分别表示出和的长，由列出方程即可求解； （3）先求出直线的解析式，设点M横坐标为未知数，表示出点M、点P的坐标，求出的长度，根据平行和垂直关系，得到是等腰直角三角形，则，求出的最大值，即可得到此时t的值以及的最大值，根据此时t的值求出点M坐标． 【小问1详解】 解：对于，令，则，即点， 令，则或3，即点的坐标分别为、， 故点的坐标分别为、． 【小问2详解】 解：设点， 由点的坐标得，，， 由得：， 解得：， 即点的坐标为． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为 将、代入得： 解得：， 所以直线的解析式为． 如下图，设点M的横坐标为t，则， 因为点M在直线下方，所以． ∵轴， ∴点P横坐标为t，纵坐标为，即．， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 在中，，， ∴． ∵ ∴当时，取得最大值． 此时，符合题意． ∴， 将代入，则点M纵坐标为， 的最大值为，此时，则点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $