精品解析：黑龙江哈尔滨市第十七中学校2026-2027学年度上学期八年级10月学情自测数学试题

黑龙江哈尔滨市第十七中学校2026-2027学年度上学期八年级10月学情自测数学试题 一、选择题（每小题1分，共计10分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段能构成三角形的是（ ） A. 5，9，14 B. 4，5，6 C. 6，8，15 D. 3，7，11 4. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 5. 如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 65° 6. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多与的和是，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 12. 如图，中，，是的角平分线，则________． 13. 如图，在Rt中，，点D，E分别在上，沿着翻折，点A与点C重合，若，则_________． 14. 对于实数，定义新运算：，例如：，则________． 15. 如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东80°方向，则的度数是______． 16. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第20个图案中白色正方形比黑色正方形多_______个． 17. 如图，在中，，是高和的交点，的面积为12，则________． 18. 如图，直线经过原点O，点C在y轴上，点D为线段上一个动点，若，，则线段长度的最小值为_________． 19. 在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 20. 如图，中，分别是的高线和角分线，点F在的延长线上，于G，交于点H．下列结论：①；②；③时，；④若，则；⑤当点E是中点，时，的面积是；其中正确的有___________．（填结论的序号） 三、解答题（其中题各7分，题各8分，题各10分，共计60分） 21. 解方程组或不等式 （1）解方程组：； （2）解不等式： 22. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图，（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，在上确定一点F，使得； （3）已知，直接写出（2）中的长． 23. 某中学对全校七年级学生进行了一次数学考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，并绘制成了如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？ （2）通过计算，将条形统计图补充完整； （3）该学校七年级共有1000人参加了这次数学考试，请你估计该校七年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 24. 如图，A、C、D、B四点在同一直线上，，．求证：． 25. 第二十届爱知·名古屋亚运会已经在日本落下帷幕，中国运动员取得了骄人的战绩，亚运会上的各种纪念品也深受人们的喜爱，某专卖店准备购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品80个，B种纪念品40个，需要800元；若购进A种纪念品50个，B种纪念品30个，需要550元． （1）求该专卖店购进的A、B两种纪念品的单价是多少元？ （2）该专卖店准备1000元全部用来购进A、B两种纪念品，计划销售每个A种纪念品可获利润4元，销售每个B种纪念品可获利润5元，销售这两种纪念品的总利润不低于602元，那么该专卖店最多购进B种纪念品多少个？ 26. 如图，在中，平分交的延长线于点E． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，设，求的度数．（用含与的式子表示） （3）如图3，、分别平分与，且，，若的面积为5，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，坐标为，点B在x轴上，坐标为，且a，b是二元一次方程组的解． （1）求点的坐标； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线匀速运动，连接，设点P运动的时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点G为内部一点，P在y轴的负半轴上时，连接交x轴于点C，点C的坐标为，连接并延长交y轴于点D，连接，，若，，求t的值及点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江哈尔滨市第十七中学校2026-2027学年度上学期八年级10月学情自测数学试题 一、选择题（每小题1分，共计10分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，判定解答即可． 【详解】解： 选项A：方程含有三个未知数，不符合二元一次方程的定义， 故本选项不符合要求． 选项B：不是整式方程， 故本选项不符合要求． 选项C：最高次项的次数为2，不属于一次方程， 故本选项不符合要求． 选项D：符合定义， 故本选项符合要求． 2. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴A. ，正确，该选项下不符合题意； B. ，正确，该选项下不符合题意； C. ，故该选项不正确，符合题意； D. ，正确，该选项下不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键． 3. 下列各组线段能构成三角形的是（ ） A. 5，9，14 B. 4，5，6 C. 6，8，15 D. 3，7，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合要求； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， ∴B符合要求； ∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴C不符合要求； ∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴D不符合要求． 4. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的分类和三角形内角和定理，熟练掌握三角形的分类和三角形内角和定理是解题的关键，根据，设，则，，根据三角形内角和定理解得，故，从而得到答案． 【详解】解：设， ∵ ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 5. 如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的外角可求出∠3=55°，然后利用平行线的性质可得∠2=55°，即可解答． 【详解】解：如图： ∵∠3是△EFH的一个外角， ∴∠3=∠1+∠F=25°+30°=55°， ∵ABCD， ∴∠2=∠3=55°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有，据此逐个判断即可． 【详解】解：A．符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； D．由可得，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意． 7. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ， ， 即． 8. 如图，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 证，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多与的和是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中线的意义，三角形周长的意义，建立关于的方程组，解答即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， 与的和是9cm， 解得． 10. 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，根据题意计算甲．乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，利用提供的计算方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，画出平面直角坐标系如下： 根据题意，得， ， 即，即， ， 故此“L”形的重心坐标为． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将看作已知数求出即可．此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【详解】解：依题意，方程， 解得：． 故答案为： 12. 如图，中，，是的角平分线，则________． 【答案】##76度 【解析】 【分析】首先根据三角形角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的定义和性质，由求解即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在Rt中，，点D，E分别在上，沿着翻折，点A与点C重合，若，则_________． 【答案】##38度 【解析】 【分析】先求出，再由，可得，再由折叠的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵在Rt中，， ∴，即， ∵， ∴， ∵沿着翻折，点A与点C重合， ∴， ∴． 14. 对于实数，定义新运算：，例如：，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据定义计算即可． 【详解】解：根据定义，得． 15. 如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东80°方向，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方向角的定义，可得，，，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 根据方向角的定义，可得，，． ，， ． ，是正南正北方向， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解平行线的性质． 16. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第20个图案中白色正方形比黑色正方形多_______个． 【答案】 【解析】 【分析】利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律为：第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，把代入规律计算即可． 【详解】解：第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个， 第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多个， 第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多个， … 类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，即个， 故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个． ∴第20个图案中白色正方形比黑色正方形多：（个）． 17. 如图，在中，，是高和的交点，的面积为12，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先证明，得到，再根据三角形的面积，确定的值，计算即可． 【详解】解：是高和的交点， ， ， ， ， 且， ∴， ∴， ， ， 的面积为12， ， ， ． 18. 如图，直线经过原点O，点C在y轴上，点D为线段上一个动点，若，，则线段长度的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点C到的距离为h，根据，利用垂线段最短，解答即可． 【详解】解：设点C到的距离为h， ，， ， ， ， ， ， 根据垂线段最短， 故线段长度的最小值为． 19. 在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【答案】3或5 【解析】 【分析】分高在的内部和外部，两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当高在的内部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 当高在的外部时， 如图，当高在的外部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 综上所述，的长为3或5． 20. 如图，中，分别是的高线和角分线，点F在的延长线上，于G，交于点H．下列结论：①；②；③时，；④若，则；⑤当点E是中点，时，的面积是；其中正确的有___________．（填结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据和高线利用同角的余角相等等量代换即可判断①；根据三角形外角性质和角平分线定义，结合①的结论，即可判断②；由平分得，当时，由，得，根据、，得，求出，即可判断③；证明，即可判断④；在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半，求出，但题目没有给出额外边长或角度条件，无法判断⑤； 【详解】解：∵， ∴， 又∵是高线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵是的外角， ∴， 又∵是角平分线， ∴， 结合①的结论，可得，故结论②正确； ∵，， ∴， 当时， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故结论③正确； 连接， 在和中：，，， ∴， ∴，故结论④正确； ∵是中点，，， ∴，， 但题目没有给出额外边长或角度条件，无法推出两条直角边乘积为​，面积不能确定为，故结论⑤错误， 综上，正确的有①②③④． 三、解答题（其中题各7分，题各8分，题各10分，共计60分） 21. 解方程组或不等式 （1）解方程组：； （2）解不等式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用解不等式的基本步骤解答即可． 【小问1详解】 解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图，（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，在上确定一点F，使得； （3）已知，直接写出（2）中的长． 【答案】（1）解：画图如下： 则即为所求． （2）解：画图如下： 则点F即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定的中点E，连接，解答即可； （2）根据直角三角形的三边分为，于是构造一个三边长也是3,4,5的直角三角形，利用三角形全等的判定和性质，解答即可； （3）根据基本作图，可得．利用勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，解答即可． 【小问1详解】 解：确定的中点E，连接，画图略；则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，构造一个三边长也是的直角三角形，画图略， 则两条斜边的交点记作F，则点F即为所求． 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 根据作图，得， ， ， ， ． 23. 某中学对全校七年级学生进行了一次数学考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，并绘制成了如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？ （2）通过计算，将条形统计图补充完整； （3）该学校七年级共有1000人参加了这次数学考试，请你估计该校七年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 【答案】（1）50 （2）补图如下： ； （3）200人 【解析】 【分析】（1）利用计算即可； （2）首先计算中等的人数，再补图即可； （3）利用样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：根据题意，得中等的人数为：（人），补图略． 【小问3详解】 解：根据题意，得该学校七年级共有1000人参加了这次数学考试， 故该校七年级优秀学生人数为：（人）． 24. 如图，A、C、D、B四点在同一直线上，，．求证：． 【答案】 在和中 ， ∴， ． 【解析】 【分析】首先证明，进而即可得证． 【详解】略． 25. 第二十届爱知·名古屋亚运会已经在日本落下帷幕，中国运动员取得了骄人的战绩，亚运会上的各种纪念品也深受人们的喜爱，某专卖店准备购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品80个，B种纪念品40个，需要800元；若购进A种纪念品50个，B种纪念品30个，需要550元． （1）求该专卖店购进的A、B两种纪念品的单价是多少元？ （2）该专卖店准备1000元全部用来购进A、B两种纪念品，计划销售每个A种纪念品可获利润4元，销售每个B种纪念品可获利润5元，销售这两种纪念品的总利润不低于602元，那么该专卖店最多购进B种纪念品多少个？ 【答案】（1）该专卖店购进A，B两种纪念品单价分别是5元，10元 （2）66个 【解析】 【分析】（1）设该专卖店购进A，B两种纪念品的单价分别是x元，元，根据题意，得，解方程组即可； （2）设该专卖店购进B种纪念品m个，根据题意，得，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该专卖店购进A，B两种纪念品的单价分别是x元，元， ， 解得， 答：该专卖店购进A，B两种纪念品单价分别是5元，10元； 【小问2详解】 解：设该专卖店购进B种纪念品m个， ， 解得， 答：该专卖店最多购进B种纪念品66个． 26. 如图，在中，平分交的延长线于点E． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，设，求的度数．（用含与的式子表示） （3）如图3，、分别平分与，且，，若的面积为5，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用角的平分线，三角形外角性质，直角三角形的性质，解答即可； （2）利用角的平分线，三角形外角性质，直角三角形的性质，解答即可； （3）过点A作于点K，证明，再证明，得到，利用三角形的面积公式，解答即可． 【小问1详解】 解：平分，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分，， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点A作于点K，如图 由（2）知， 平分 又平分 在中： 在中： 即 化简得 ， ， ∴在和中 ∵， ∴， 的面积是5， ， ， 解得． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，坐标为，点B在x轴上，坐标为，且a，b是二元一次方程组的解． （1）求点的坐标； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线匀速运动，连接，设点P运动的时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点G为内部一点，P在y轴的负半轴上时，连接交x轴于点C，点C的坐标为，连接并延长交y轴于点D，连接，，若，，求t的值及点G的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先解方程组，把值代入坐标，解答即可； （2）根据题意，分两种情况讨论：①当时，；②当时，，再分别计算三角形的面积即可． （3）根据已知条件和三角形外角的性质，推出，进而得到，从而求出的值，过G作于于N，证明，得到，再根据列方程，求出，即可得到点G的坐标． 【小问1详解】 解：解方程组 ，得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为； ； 【小问2详解】 解：由题意 ①当点P在上时，此时，， ； ②当点P在延长线上时，此时，， ； 综上所述，． 【小问3详解】 解：是的外角， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； ， ， ， ， ，此时点P在延长线上， ， 过G作于于N， ∵ ∴， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $