精品解析：山东滕州尚贤中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情自测数学试卷（10月）

九年级阶段性检测 数学试题 一、单选题（共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，四边形中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是菱形．则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程的两实数根为，，若，则的值为( )． A. B. C. 或 D. 或 8. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8 9. 孝泉古镇是川西平原的一颗明珠，具有丰富的孝文化内涵和历史底蕴，孝泉古名阳泉县，仁寿二年（602）废县，唐置姜诗镇，北宋英宗治平年间因避姜诗名讳，本其事迹，更名为孝泉镇．古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 12. 已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程的一个根，则该等腰直角三角形的直角边长为______． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为___________． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________． 15. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 19. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 20. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 23. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性检测 数学试题 一、单选题（共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程＂只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程＂的定义． 根据一元二次方程的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． A、，当时，方程变为，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程； B、，含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程； C、，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时是整式方程，符合一元二次方程的定义； D、，其中是分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程． 综上，只有选项C是一元二次方程． 故选：C． 2. 在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 4. 如图，四边形中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是菱形．则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，由点E、F、G、H分别是的中点，根据三角形中位线的性质，可，，又由当时，四边形是菱形，即可求得答案． 【详解】解：点E、F、G、H分别是的中点， ，， 当时，四边形是菱形， 当时，四边形是菱形， 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：且， 且 6. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 7. 关于的方程的两实数根为，，若，则的值为( )． A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与积，代入条件方程求解，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于 x 的方程 的两实数根为 ， ， 又 方程 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ， 由根与系数的关系：得，． ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ 或 ． 又∵ 方程有两实数根， ∴， 即． ∴． 故选：A． 8. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，斜边上的中线，推出为等边三角形，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 9. 孝泉古镇是川西平原的一颗明珠，具有丰富的孝文化内涵和历史底蕴，孝泉古名阳泉县，仁寿二年（602）废县，唐置姜诗镇，北宋英宗治平年间因避姜诗名讳，本其事迹，更名为孝泉镇．古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正方形和正八边形的性质、相似三角形的判定和性质．设，得到，，即可得到． 【详解】解：如图，设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， 故选：B． 10. 如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点， 根据对称性可知， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 12. 已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程的一个根，则该等腰直角三角形的直角边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解给定的一元二次方程，舍去负根得到等腰直角三角形的斜边长，再利用勾股定理计算直角边长即可． 【详解】解：解一元二次方程， 因式分解得， 解得， 三角形的边长为正数， 该等腰直角三角形的斜边长为， 设该等腰直角三角形的直角边长为，且， 根据勾股定理可得， 整理得，即， ， ， 故该等腰直角三角形的直角边长为． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ； 故答案为． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为进行计算 【详解】解：四边形是菱形，    在中， 由勾股定理得   是线段的垂直平分线    的周长为： ． 15. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】（1） 解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）矩形对角线的长是4 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为， ∴， 解得． ∴这个矩形对角线的长是4． 19. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，点是的中点，得，由，，证明四边形是平行四边形，则四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，可证明四边形是平行四边形，而，，则四边形是菱形，，所以，，，求得，则，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，三角形是等边三角形， ∴，，，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出四边形是平行四边形及是解题的关键． 20. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． 【小问2详解】 设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）50元/件 （3） 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意得， 整理得， ， 此一元二次方程没有实数根， 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量100加上增长的数量，列式化简即可； （2）根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解； （3）根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况． 【小问1详解】 解：该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； 【小问3详解】 略 23. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． （1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周长； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $