精品解析：山东省枣庄市滕州市至善学校2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试题

至善学校2025－2026学年（上）九年级第二次过关测试数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，满分30分，请把答案涂在答题卡上） 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论． 【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等）， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：B． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答． 【详解】解：移项，得： ， 配方，得：， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法． 3. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有70次摸到白色棋子，估计盒子中白色棋子有（ ） A. 3枚 B. 4枚 C. 6枚 D. 7枚 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了通过频率估计概率，根据概率求数量． 通过频率估计概率，摸到白棋的频率为，据此估计白棋概率，从而求出白棋数量． 【详解】解：∵摸到白棋的频率， ∴估计摸到白棋的概率为， 设白棋有x枚， 则， ∴， 故估计白棋有7枚． 故选：D． 4. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】由图可知左视图是 故选B． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 5. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】A点的坐标为，则B点的坐标为，根据反比例函数的系数的几何意义可列出等式，进而可得到，的等量关系，根据图象可知的值，进而可知的值，进而可求得系数的值． 【详解】解：设A点的坐标为， 则B点的坐标为， 则：， 解得：， 由图象可知，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 7. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算即可． 【详解】如图所示， ∵在中，， ∴由勾股定理得，， 则， 故选：A． 8. 已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得∶当时， ，再根据图2中点的实际意义可得∶， ，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解∶由图2可得∶ 当时，， 当点P的运动距离为0时，的长为6， 当时，． 由图2可得∶ 当时，， 当点的运动距离为a时，的值最大，最大为6， 当点P运动到和点B重合时，的值最大， ，， 在中，， ． ， ， 点P为的中点， ， ， 故选∶D． 二、填空题（每题3分满分18分，请把答案写在答题纸上） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的解析式的顶点式即可得． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减进行求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为，即， 故答案为：． 13. 如图，在中，E为CD上一点，连结BE并延长交AD延长线于点F．如果，那么____________． 【答案】4：25## 【解析】 【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案． 【详解】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，CD＝AB． ∴△DFE∽△AFB， ∴． ∵DE：EC＝2：3， ∴DE：DC＝DE：AB＝2：5， ∴ 故答案为：4：25或 ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 15. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡长度为_______． 【答案】##10米 【解析】 【分析】先根据斜面的坡度为，求出的长度，然后再根据勾股定理求出长度即可． 【详解】解：∵斜面的坡度为，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，求出． 16. 如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于__________． 【答案】24 【解析】 【分析】证明，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题． 【详解】解：作，，设， 四边形为菱形， ，， ， ， 同理， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， 点坐标为，， 反比例函数的图象经过点， 代入点得：， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，菱形的性质，解直角三角形，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键． 三、解答题（共7小题，满分72分，请把答案写在答题纸上） 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值化简： （1）先分别计算各部分，再合并； （2）逐步化简各部分，再计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为1∶2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）求的面积． 【答案】（1） 画图如下：     则即为所求． （2） 画图如下：     则即为所求． （3）10 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）利用割补法求三角形面积即可． 本题考查了平移作图，位似作图，坐标与图形，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、． 【小问2详解】 解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、． 【小问3详解】 解：∵、、． ． 19. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图      初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 （1）本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； （4）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1）120；72 （2） 良好的人数为：人； （3）136 （4）选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． （1）由“一般”人数除以“一般”所对应的扇形的百分数，得出总人数；再由“优秀”所对应百分比乘以360°，得出扇形的圆心角度数； （2）按照良好的百分比乘以总人数120，补充统计图即可； （3）根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解； （4）画出树状图，由概率公式即可得出答案； 【小问1详解】 人； “优秀”的百分比为： 对应的度数为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人； 【小问4详解】 画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 20. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； 【小问2详解】 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 22. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：为 的中点，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 平行四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形， （1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得即可推出四边形是矩形； （2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的长，从而得到的长； 灵活运用上述性质解决问题是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 23. 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且． 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出的长，从而可以计算出的长． 【详解】解：∵， 答：镇远楼的高度为． 24. 已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 【答案】（1），顶点坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，又由点的坐标可得，联立函数解析式可得，即可得，得到，再根据二次函数的性质可求出的最大值； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，且与轴交于， ， 解得， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：，， 当时，取最大值，的最大值为， ，且函数图象的开口向下， ∴当时，取最小值，， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由，整理得， ， ， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 至善学校2025－2026学年（上）九年级第二次过关测试数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，满分30分，请把答案涂在答题卡上） 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有70次摸到白色棋子，估计盒子中白色棋子有（ ） A. 3枚 B. 4枚 C. 6枚 D. 7枚 4. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 二、填空题（每题3分满分18分，请把答案写在答题纸上） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为______． 13. 如图，在中，E为CD上一点，连结BE并延长交AD延长线于点F．如果，那么____________． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 15. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡长度为_______． 16. 如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于__________． 三、解答题（共7小题，满分72分，请把答案写在答题纸上） 17. 计算． （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为1∶2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）求的面积． 19. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图      初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 （1）本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； （4）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 20. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 23. 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且． 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，，． 24. 已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $