精品解析：山东青岛市海信学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段性综合素养测评 九年级数学 一、选择题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 1. 已知，则下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，已知比例式，利用比例的基本性质分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴设比值为k，则，． A项：，，成立； B项：，，当时，不一定相等； C项：，成立； D项：，，成立， ∴不一定成立的是B． 故选：B． 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，即可判断答案． 【详解】解：根据，所以只要满足，就可得到a、b、c、d四条线段成比例， A、因为，所以该组线段不成比例； B、因为，所以该组线段不成比例； C、因为，所以该组线段不成比例； D、因为，所以该组线段成比例． 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意． 故选B． 4. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 5. 如图，菱形中，是其对角线，沿折叠使点C落在上的处，得到，连接．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、含30度直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30度直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键；连接，与交于点O，由题意易得，，，由折叠的性质可知：，则有，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，与交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后将方程化简、代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 故选：B． 7. 如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意证明，进而得出，勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵矩形和矩形 ∴， 又，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ 在中，， 在中，， 在中，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证明是解题的关键 8. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程 B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程 D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元方程可对A进行判断；先解方程得到x1=3，x2=- ，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用3m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断． 【详解】解：A. 解方程−4x+3=0得x1=1, x2=3，所以A选项的说法正确； B. 解方程得x1=3, x2=-,当−=3×3,则9m+n=0;当−=×3，则m+n=0，所以B选项的说法错误； C. 解方程得x1=3, x2=−,而m+n=0,则x2=1，所以C选项的说法正确； D. 解方程得x1=−m, x2=n,而3m+n=0,即n=−3m,所以x1=3 x2，所以D选项的说法正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查根与系数的关系, 一元二次方程的解，熟悉掌握是关键. 二、填空题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 9. 方程的根是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】移项后分解因式得出x（3x-1）=0，推出方程x=0，3x-1=0，求出方程的解即可． 【详解】解：3x2-x=0， x（3x-1）=0， x=0，3x-1=0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是把一元二次方程转化成一元一次方程． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 【答案】且 【解析】 【分析】首先根据一元二次方程要求，二次项系数不为0，得到，再由方程有实数根，得判别式，求出的取值范围，最后综合两个条件得到结果． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵有实数根， ∴， 解得， ∵， ∴且． 11. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，则，然后把代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用大正方形的面积减去空白面积=阴影面积，即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， 即：， 故答案为：． 13. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，证明，得到，则可证明，取的中点G，连接，由勾股定理可得，则，证明是的中位线，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，在的延长线上取一点，使得，连接，过点作于点，证明，推出，，可得，推出平分，因为关于对称，所以，推出，可知当点在上时，的值最小，最小值为线段的长. 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，在的延长线上取一点，使得，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴关于对称， ∴， ∴， ∴当点在上时，的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 16. 如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质等知识点，发现运动规律，找到第秒是点的位置，然后作辅助线构造全等三角形是解本题的关键,首先根据四边形是菱形和的坐标，求出再根据题中运动方式可知点的运动轨迹每4秒一个循环，得到第秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同,画出第3秒时的位置，过点作轴于点，可证再根据全等三角形对应边相等，可得点的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形, ∵点从点出发，以每秒5个单位长度沿方向运动， ∴点的运动轨迹每4秒一个循环， ∴第秒时，点的坐标与第3秒时点的坐标相同，第3秒时点在点， 如图， 过点作 轴于点， 又且 ∴. 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分，共1道题） 17. 已知：如图，；求作：正方形，使D为的中点，在边上，且G在内部． 【答案】 如图，四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是作正方形，作线段的垂直平分线，先作线段的垂直平分线交于，再过作的垂线交于，再在上截取，分别以为圆心，长为半径画弧，交于点，则四边形为正方形． 【详解】 理由：由作图可得：为中点， ，， ∴四边形为正方形． 四、解答题（本题满分68分，共8道题） 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）． （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 解： 或 ， 【小问4详解】 解： 或 ， 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明： ． 无论取何值，都有，， 该方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出一元二次方程根的判别式，判断是否一定大于，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，把两根之和、两根之积代入不等式，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 解：、是该方程的两个实数根， ，， ． 20. 为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧． （1）该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率； （2）为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长． 【答案】（1）该农场跑山鸡数量的年增长率为 （2）重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设增长率为x，根据农场今年养殖跑山鸡1000只，预计后年养殖跑山鸡1210只，列出一元二次方程即可求解； （2）设重建后的养鸡场的宽的长为y米，则的长为米，根据养鸡场的面积是161平方米，列出一元二次方程，求解并判断满足米，即可求解； 【小问1详解】 解：设该农场跑山鸡数量的年增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：该农场跑山鸡数量的年增长率为． 【小问2详解】 解：设重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，（米）米，符合题意； 当时，（米）米，不符合题意，舍去； ∴米． 答：重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比． 已知，如图1，中，为线段上任意一点，连接，则有：． 【模型应用】 （1）如图2，任意四边形中，E、F分别是边的中点，连接、，若四边形的面积为S，则________． （2）如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点A和点C最近的三等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． （3）如图4，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点B和点D最近的n等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了四边形面积，三角形面积，三角形的中线性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由三角形的中线性质得，，即可解决问题； （2）连接，由模型得，，即可解决问题； （3）连接，由模型得，，，再由，，即可得出答案； 【小问1详解】 解：∵分别是边的中点， ，， ，， ，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图3，连接， ∵点分别是边上离点和点最近的三等分点， ，， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图4，连接， ∵点分别是边上离点和点最近的等分点， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 23. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）略 24. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． （2）欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． （3）【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． （4）刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 【答案】（1） 解：连接， 由折叠的性质得，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）； 解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 设，则， ∵、、三点共线， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， 即； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质求得是等边三角形，据此求解即可； （2）设，则，根据点、、三点共线，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （3）仿照解析（2）的方法，进行求解即可； （4）过点H作于点M，作于点N，过点Q作于点K，作于点J，设，由（3）可得，利用等面积法求出，同理求出，把代入得出，整理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，，，， ∴， ∴、F、G三点共线， 设，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， 即； 【小问4详解】 解：过点H作于点M，作于点N，过点Q作于点K，作于点J，如图所示： 则， 根据题意得：正方形中，， 设，由（3）可得， ∵正方形中，， ∴，，，都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ （3）是否存在某一时刻，使平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2） （3）1或3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可得，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）根据菱形的性质可得，勾股定理表示出，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）过点作于点，则，可证明，以及四边形是矩形，故，，在中由勾股定理建立方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得 ， ∵四边形是矩形， ∴， ， 四边形是矩形， ，即 解得； 【小问2详解】 解：四边形 是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，由勾股定理得， 解得； 【小问3详解】 解：过点作于点，则 ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 解得：或， ∴当或时，平分． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性综合素养测评 九年级数学 一、选择题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 1. 已知，则下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 4. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，是其对角线，沿折叠使点C落在上的处，得到，连接．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 7. 如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程 B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程 D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程 二、填空题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 9. 方程的根是_______________． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 11. 已知，若，则______． 12. 如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是______． 13. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 15. 如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为______． 16. 如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为________． 三、作图题（本题满分4分，共1道题） 17. 已知：如图，；求作：正方形，使D为的中点，在边上，且G在内部． 四、解答题（本题满分68分，共8道题） 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）． （4） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 20. 为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧． （1）该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率； （2）为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 22. 【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比． 已知，如图1，中，为线段上任意一点，连接，则有：． 【模型应用】 （1）如图2，任意四边形中，E、F分别是边的中点，连接、，若四边形的面积为S，则________． （2）如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点A和点C最近的三等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． （3）如图4，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点B和点D最近的n等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． 23. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 24. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． （2）欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． （3）【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． （4）刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ （3）是否存在某一时刻，使平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $