河南省新乡市2026-2027学年高二数学上学期课时作业（人教A版选择性必修一2.5.1直线与圆的位置关系）

课后作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【课时作业】 学段学科 【高中】【数学】 适用年级 【二年级】 教材版本 【人教A版】 对应内容 【2.5.1直线与圆的位置关系】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长45分钟 设计者 【杜瑞乾】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模，需达成水平三学业质量标准. · 教材地位：本课时承载的核心概念与直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交，并衍生出圆的切线、切线长、弦长。数学思想：数形结合、转化与化归、分类讨论。方法：坐标法。价值观是感受解析几何“用代数工具研究几何”的重大思想创新，体会数学统一、简洁之美；2. 在几何直观和严谨计算之间来回校验，养成严谨求实、言必有据的思维习惯；3. 通过动态想象直线绕圆旋转、位置变化，提升直观想象素养，体会变中有不变（如弦长与距离的制约关系）；4. 在解决实际情境问题（如导航、测距、碰撞判断雏形）中感受数学的应用价值，增强探究信心. · 教学重难点：作业重点：掌握直线与圆位置关系的几何法、代数法判定，熟练求解切线、弦长等基本问题，深化数形结合与坐标法思想； · 作业难点：合理选择解题方法，处理含参动态问题，规避斜率不存在、漏解等典型易错点，实现从“会算”到“会想”的提升。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握直线方程、点到直线距离公式、圆的标准方程与一般方程等基础知识，具备解析几何最基本的坐标运算能力。学生初步建立了“用代数方法研究几何问题”的思维框架，能够进行简单的方程联立、距离计算、图形识别，为本节课判断直线与圆的位置关系、求解切线和弦长问题奠定了必备基础。 现有困惑 1. 数形结合脱节：只会算数、不会看图，做题不画图，无法预判图形位置，导致计算量大、正确率低。 2. 解题思维固化：习惯性使用代数联立通法，不会择优选用几何简便方法，运算繁琐且耗时。 3. 思维严谨性不足：容易忽略直线斜率不存在、切线双解、动态临界情况等特殊情形，高频出现漏解。 4. 知识迁移弱：能做固定题型，但面对情境变化、含参动态问题、最值问题时，转化能力不足。 差异分析 1. 基础薄弱学生：能记住位置关系的三种类型，但公式运用不熟练，点到直线距离计算易出错，分不清几何法与代数法的适用场景，解题习惯偏向死套公式，不会结合图形简化运算，面对稍微变式的题目容易无从下手。 2. 中等层次学生：能够熟练完成基础判断、简单弦长计算、简单切线问题，具备基本数形结合能力，但解题方法单一，普遍习惯联立方程硬算，缺乏利用垂径定理、几何特征快速解题的意识，在含参、动态问题中容易漏解、错解。 3. 学有余力学生：具备较强的逻辑推理与图形感知能力，能够自主分析动态几何情境，能够尝试一题多解，但在参数范围、临界位置、分类讨论的严谨性上仍存在短板，需要拔高题型训练思维深度。 3. 设计意图（一段话讲清即可） 本次《直线与圆的位置关系》课时作业设计，立足学生现有认知基础与学情差异，紧扣本节课重难点和新课标学业质量要求，遵循“因材施教、分层递进、素养落地”的设计理念。作业由基础巩固、能力提升、拓展拔高三个层级构成，层层梯度递进，既通过基础题型帮助全体学生夯实位置关系判定、弦长与切线计算等核心基础知识，落实毕业学业质量底线；又通过中档题型引导学生熟练数形结合、化归转化的解题方法，优化解题思维、规避常见易错点；同时借助含参动态、最值探究类拔高习题，满足学有余力学生的深度学习需求，有效突破本节课教学难点。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记直线与圆位置关系 数学运算、直观想象 正确率 能力运用 B 运用代数法、几何法方法，解决位置判断、弦长、切线问题 数学运算、逻辑推理 过程记录、方法选用 思维发展 C 归纳解题路径与几何模型 逻辑推理、直观想象 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 体验解析几何文化，形成严谨规范、数形互证的习惯 逻辑推理 反思语 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选题 求直线和圆的位置关系 A和B 会判断直线与圆的位置关系；会由标准方程确定圆心和半径； 圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 2 单选题 求圆被轴截得的弦长 B 会求圆的弦长与中点弦；会求直线与圆交点的坐标 令得，解得或. 所以被轴截得的弦长为. 3 单选题 直线：被圆：截得的弦长为，求的值 B 会已知圆的弦长求方程或参数 由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 4 单选题 已知圆上的点到直线的距离为，求点个数 B 会解决圆上点到定直线（图形）上的最值（范围 圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 5 单选题 求圆上的点到直线距离的最大值 B 会求直线与圆的位置关系求距离的最值 圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 6 多选题 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 B和C 会判断点与圆的位置关系；会解决直线与圆中的定点定值问题；会解决直线过定点问题 对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 7 填空题 已知圆，过点作圆的切线，求切线长 B 会过圆外一点的圆的切线方程；会求切线长 由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 8 解答题 如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ B和D 会将实际问题抽象为代数问题 （1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可； （2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案. 9 解答题 已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. B 会求过圆外一点的圆的切线方程 （1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 一、单选题 1．直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 2．圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 3．直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 二、多选题 6．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 三、填空题 7．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 四、解答题 8．如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 9．已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 7、 答案与解析 1．C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 2．C 【知识点】求直线与圆交点的坐标、圆的弦长与中点弦 【详解】令得，解得或. 所以被轴截得的弦长为. 3．D 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 4．D 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 5．A 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 6．ACD 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题 【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 【详解】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 7． 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 8．(1)； (2)能， 小时. 【知识点】直线截距式方程及辨析、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线与圆的实际应用 【分析】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可； （2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示: 则 ， 则直线，即， 外籍船航行路径所在的直线方程为: ; （2）点到直线的距离， 所以外籍轮船能被海监船监测到； 检测路线的长度， 则检测时间， 所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时. 9．(1) (2)与 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 【详解】（1）由圆C：，可得圆心，半径，      所以圆心到直线的距离，      所以. （2）① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线；      ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即，      因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $