第一章空间向量与立体几何单元测试（一） -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《空间向量与立体几何》高二单元卷，以正方体、棱锥等几何体为背景，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖空间向量运算、线面角、二面角等核心知识，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|点对称、法向量、共面问题|第3题结合正方体向量运算，考查空间向量线性表示| |填空题|3题/15分|共面条件、夹角范围、动态线段|第14题以三棱锥为背景，考查异面直线角的动态范围| |解答题|5题/77分|线面垂直证明、二面角、折叠问题|第19题引入混合积定义证明，衔接大学内容，培养创新意识|

《空间向量与立体几何》单元测试（一） 高二 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为， 且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 7．在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 10．给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为； B．若平面与平面的法向量分别是与，则； C．已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D．若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 11．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，点在圆锥侧面上运动，且点到底面的距离等于点到顶点的距离，则（   ） A．直线与底面所成的角的正切值为2 B．直线与平面所成角的最大值为 C．存在点，使直线与母线平行 D．存在点，使直线与母线垂直 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 13．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 16．（15分） 已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面. ①求的值； ②求与平面所成角的正弦值. 18．（17分）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 19．（17分） 设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《《空间向量与立体几何》单元测试（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A D C D B AC BC 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2．B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 3．D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 4．A 【详解】由，得， 所以 5．D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 6．C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 7．D 【分析】建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 8．B 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 9．AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10．BC 【分析】利用异面直线夹角范围、法向量数量积、四点共面向量推论、空间基底条件进行逐项判断即可. 【详解】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 11．AB 【分析】作，垂足为，延长与圆锥底面的交点为，连接，由题意可得，设，则，，可得，求解，可得点的轨迹，建立空间直角坐标系，对于A选项，由线面角的向量求法求解，再求解，即可求解；对于B选项，由线面角的向量求法求解，再由放缩法，即可求解；对于C选项，设存在点，使得直线与母线平行，再由向量平行即可求解；对于D选项，设存在点，使直线与母线垂直，由即可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，因此底面半径， 圆锥的高，母线长为，圆锥母线与高的夹角为，作，垂足为， 延长与圆锥底面的交点为，连接， 设，则，， 由题意可得，，解得， 则，可知点的轨迹是半径的圆， 以为原点，为轴，为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 可得，，，， 对于A选项，设直线与底面所成的角为， 因为圆锥底面的法向量可以为， 则，可得，则，故A正确； 对于B选项，设直线与平面所成角为， 因为平面的法向量可以为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确； 对于C选项，若存在点，使得直线与母线平行，则，可得，即，方程无解， 所以不存在点，使得直线与母线平行，故C错误； 对于D选项，若存在点，使得直线与母线垂直，则， 解得，所以不存在点，使直线与母线垂直，故D错误. 12．/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 13． 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14． 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 15．(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 16．(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 17．(1) (2)①， ② 【分析】（1）以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用空间中点到面的距离公式求解即可； （2）①设，由向量的线性运算可得，根据，求出的值即可得答案； ②由题意可得平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的公式求解即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 所以， 又， ， 所以，点到平面的距离为； （2）①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得， 所以； ②平面的一个法向量， 又， 得 所以，与平面所成角的正弦值为. 18．(1)由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． (2) (3)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【详解】（1）略 （2）平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． （3）设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 19．(1)因为，所以， 而，，，故， 证得． (2)向量分别与向量，垂直， 且的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积. (3)设，由（2）结论可知，向量与向量，垂直且向量，不共线， 所以是向量，所成平面的一个法向量， 又因为， 其中可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 且为该平行六面体的一个底面面积， 而是与平行六面体这一底面的法向量所成夹角的余弦值， 也就是与该底面夹角的正弦值， 所以可表示为该底面上的高， 由平行六面体的体积公式可知， 故证得等于以，和为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【分析】（1）利用给定的向量外积的定义求解即可. （2）利用向量外积的定义和数量积的定义得到，，再结合平行四边形的面积公式求解即可. （3）利用给定的向量混合积的定义并结合六面体的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）不妨设， 所以有 ， ， 所以，，得到，，向量分别与向量，垂直． 因为向量，不共线，不妨设一平行四边形，同一起点的邻边长分别为，， 夹角为向量，的夹角，此时平行四边形的面积， 因为，所以可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 证得的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $