精品解析：山东青岛市二实验分校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

九上数学第一次阶段性检测试卷 （满分120分） 一．选择题（30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，判断各选项进行分析即可． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确. B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误. C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误. D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误. 4. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 5. 如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到， 由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 7. 已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，设，则，，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点的运动路程为，的面积为，且与的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象可知点运动的路程从到之间的面积没有变化，可得，，过点作，利用勾股定理求出的长，根据矩形的性质可知，即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， 点运动的路程从到之间的面积没有变化， 可得：，， 四边形是矩形， ， ， ∴G为中点，， ∵O为中点， ∴， ， ． 二．填空题（24分） 11. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得﹣2•x1=﹣6，所以x1=3． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义．直接根据一元二次方程的定义可得，根据根的判别式得出，计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得， 故答案为：且． 14. 关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据关于x的方程的解是，得出或，即方程的解是． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或 ∴方程的解是 故答案为： 15. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 【答案】11 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=55， 整理，得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为11. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出旋转后的B点对应点D点，构造直角三角形求出 和的长即可求解． 【详解】解：如图，连接并将绕点按顺时针方向旋转，B点对应点为D ∵正方形边长为2 ∴，， 过D点作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为． 17. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理；方法一：利用矩形的性质求出，的长度，过点P作于点E．求出的长度，再通过三角函数和勾股定理求出结果即可；方法二：由矩形的性质可得，，，，，，，从而得出，，解直角三角形得出，，求出，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：方法一：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵ 在中，，，， ∴，， ∴， 过点P作于点E．则， 因为，， 所以是等腰直角三角形，即． ∴设，则， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴； 方法二：∵四边形为矩形， ∴，，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，已知四边形是边长为6的正方形，为上一点，且，为线段上一动点，过点作于点，交线段于点．则下列结论中正确的有__________． ①． ②若，则． ③当时，．④若为线段上一动点，连接，则的最小值为． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】连接，作于，证明，即可判断①；由平行线的性质可得，证明，得出，即可判断②；连接，证明点、、、四点共圆，得出，即可判断③；连接，，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出当B、M、E三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定等边三角形， ∴不一定等于，故②错误； 如图，连接， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接，，如图所示： ∵在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、M、E三点共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， 即最小值为，故④错误； 综上，正确的有①③． 三．解答题（本题满分66分） 19. 请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：如图，线段．点是直线外一点． 求作：矩形．使边在直线上，． 【答案】矩形即为所求： 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的作法及矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键．根据垂直平分线的作法及矩形的判定作图即可． 【详解】解：①以点A为圆心，线段a为半径画弧交直线m于点C和，即； ②作线段的垂直平分线交于点B； ③分别以点C和为圆心，长为半径向上画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，分别交于点D和，； ④连接，； 20. 解方程： （1）； （2）； （3）．（配方法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可； （3）用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 22. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点，D是BC的中点， ∴AE=DE，BD=CD， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形， 理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，则AF=DB， ∵DB=DC， ∴AF=CD， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴菱形ADCF是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可； （2）由全等三角形的性质和菱形的判定四边形ADCF是菱形，根据正方形的判定解答即可． 【详解】证明：（1）略 （2）略 【点睛】此题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质以及菱形的判定，正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答． 23. 某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） （2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ （3）该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）元 （3） 解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴不能平均每天盈利元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）根据题意列出一元二次方程，由方程的解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元； 【小问3详解】 略 24. 如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． （1）求为何值时，四边形是矩形； （2）在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； （3）若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； （4）连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）2.2秒 （2）不存在 （3） （4）当t的值为或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）当时，四边形是矩形，根据列出方程即可求解； （2）由勾股定理求出，当时，四边形是平行四边形，可求得t的值，只要判断的长度是否相等，即可判定四边形是否是菱形； （3）设点的速度为，则当时，四边形是正方形，据此列出方程可求解； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，即，，，， 当时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 由题意知，， ∴， ∴， 解得； 答：为2.2秒时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由勾股定理得，， ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 此时， 即不存在t的值，使四边形是菱形； 【小问3详解】 解：设点的速度为， 由（1）知，当时，四边形是矩形， 则当时，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：在整个运动过程中，当四边形是正方形时，动点的速度为； 【小问4详解】 解：为等腰三角形，有三种情况； ①当时， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时，， ∵， ∴在中，， 解得； ③当时，则， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学第一次阶段性检测试卷 （满分120分） 一．选择题（30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 4. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点的运动路程为，的面积为，且与的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（24分） 11. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 12. 若，则_______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 14. 关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 15. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 16. 如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 17. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________． 18. 如图，已知四边形是边长为6的正方形，为上一点，且，为线段上一动点，过点作于点，交线段于点．则下列结论中正确的有__________． ①． ②若，则． ③当时，．④若为线段上一动点，连接，则的最小值为． 三．解答题（本题满分66分） 19. 请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：如图，线段．点是直线外一点． 求作：矩形．使边在直线上，． 20. 解方程： （1）； （2）； （3）．（配方法） 21. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 22. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由． 23. 某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） （2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ （3）该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 24. 如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． （1）求为何值时，四边形是矩形； （2）在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； （3）若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； （4）连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $