精品解析：山东滕州市北辛街道北辛中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段检测数学试题

九年级竞学竞练达标检测数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 用配方法解方程时，经过配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 8. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 9. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 10. 漆渣古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. 1.5 B. C. D. 2 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 13. 如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______． 14. 如图，正方形的边长为7，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为_____． 15. 如图①，在矩形中，，点P从点B出发沿线段向点C运动，线段的垂直平分线分别交，于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 18. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 19. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的长． 20. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 21. 如图，已知等边中，于点，为中点．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作交射线于点，连接，． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：四边形的菱形． 22. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 23. 问题探究： 老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论．如图，在边长为m的正方形中，点E，F分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在边的点G处． （1）【问题解决】 小明同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是________，与的数量关系是________； （2）【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长m为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级竞学竞练达标检测数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，选项C不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键． 3. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 用配方法解方程时，经过配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ， 移项，得 ， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得， 整理左侧为完全平方式，得． 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 8. 如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中 ． 故选：B． 9. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 10. 漆渣古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. 1.5 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，得到，是等腰直角三角形，，表示出，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：如图，设 由正方形和正八边形的性质得，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 【答案】x1=0，x2=3 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解：x2=3x， x2-3x=0， x（x-3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．掌握因式分解法是解题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 13. 如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，进而即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 14. 如图，正方形的边长为7，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 15. 如图①，在矩形中，，点P从点B出发沿线段向点C运动，线段的垂直平分线分别交，于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，从图②可知，当时，，即当时，，利用勾股定理求出此时长，再根据线段垂直平分线性质求得长，即可求得答案． 【详解】解∶由图②可知，当时，，即当时，， 连接，如图①， 四边形是矩形， ． ． 是的垂直平分线， ． ， 当点P与B重合时， 是的垂直平分线， 点M为中点， ， 当时，， 则当时，． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 18. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．分类讨论：当时，去绝对值得到，再求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【详解】解：当时，原方程化为，即， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 19. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD ∴∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF ∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据△AEO和△CFO全等来进行说明；（2）连接OB，得出△BOF和△BOE全等，然后求出∠BAC的度数，根据∠BAC的正切值求出AB的长度． 【详解】（1）略 （2）连接BO ∵OE=OF BE=BF ∴BO⊥EF 且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BCF=90° ∵∠BEF=2∠BAC ∠BEF=∠BAC+∠EOA ∴∠BAC=∠EOA ∴ AE=OE ∵AE=CF OE=OF ∴OF=CF 又∵BF=BF ∴Rt△BOF≌Rt△BCF ∴∠OBF=∠CBF ∴∠CBF=∠FBO=∠OBE ∵∠ABC=90° ∠OBE=30° ∴∠BEO=60° ∠BAC=30° ∵tan∠BAC= ∴tan30°= 即 ∴AB=6． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明、锐角三角函数的应用． 20. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2） （3）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 21. 如图，已知等边中，于点，为中点．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作交射线于点，连接，． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：四边形的菱形． 【答案】（1） 解：， 理由：是等边三角形， ，， ， ， 为中点． ， ， 是等边三角形， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， ； （2） 证明：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到是的中点，求得是等边三角形，得到，由作图知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （2）推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，菱形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 22. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 23. 问题探究： 老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论．如图，在边长为m的正方形中，点E，F分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在边的点G处． （1）【问题解决】 小明同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是________，与的数量关系是________； （2）【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长m为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2）的面积为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得到；过F作于M，设与交于点I，证明四边形是矩形，得到，然后证明，即可得到； （2）由折叠得，然后利用角平分线的性质定理得到，然后利用三角形内角和公式求解； （3）作点C关于的对称点Q，连接，，，得到，由折叠得，当点B，G，Q三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵将正方形沿翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在边的点G处 ∴； ∴ 如图，过F作于M，设与交于点I ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵当正方形边长m为定值 ∴ 由折叠得， 如图，过点C作于点N ∵平分， ∴ ∴的面积； 【小问3详解】 解：如图，作点C关于的对称点Q，连接，，， ∴垂直平分 ∴ 由折叠得， ∴ ∴当点B，G，Q三点共线时，取得最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $