精品解析：山东青岛市崂山区育才学校2026-2027学年第一学期第一次学情自测八年级数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段性质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数：、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0），其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的定义．先求出算术平方根，然后再根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：， 在、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0）之中， 无理数有：，（每两个相邻5之间依次多一个0）两个， 故选：B 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数； B、，故是勾股数； C、，故不是勾股数； D、，故不是勾股数； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的加法运算法则、二次根式的除法运算法则、二次根式的乘法运算法则、分母有理化逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由与不能合并，则A选项错误； B.由，故B选项符合题意； C. 由，故C选项不符合题意； D.由，故D项不符合题意． 故选：B． 4. 最简二次根式和可以合并，那么（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 5. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①，故①错误． ②∵，∴，故②正确． ③∵没有平方根，∴，解得，故③正确． ④由题意得且，∴，代入得，∴，其算术平方根为，故④错误． ⑤∵，∴，，解得，，∴，故⑤错误． 综上，正确的有个． 8. 我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（ ） A. 18 B. 22 C. 26 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 9. 实数，在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题可知，，， 所以， 所以， 则化简结果是． 10. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 12. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 【答案】13或##或13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，学会分类讨论直角三角形的边长是解题的关键．根据题意，分2种情况讨论，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：若两直角边长为12和5，则第三边长为； 若斜边长为12，其中一条直角边长为5，则第三边长为． ∴综上所述，第三边长为13或． 13. 比较大小：_________2（选填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 已知为实数，且，则的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 15. 若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．由“一个正数的两个平方根互为相反数”得到，据此可以求得a的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ，即， 解得，, ∴， 这个数为1 故答案是：1． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 17. 如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 三、解答题（满分69分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】二次根式运算关键是先化简为最简二次根式，再按实数运算法则计算；注意平方差公式 的灵活运用． （1）先化简二次根式，再算括号内，最后算乘法． （2）先用平方差公式，再减去 ． （3）把分子合并为一个根号或先乘除后开方． （4）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 19. 求下列各式中的的值： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根； （1）由原式得，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式得，由立方根的定义可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 20. 已知的平方根是，4是的平方根，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和代数式求值结合的问题，根据平方根的定义求出字母a和b 的值，然后再代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵4是的平方根 ∴， ∴， ∴ 21. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【解析】 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）； （2）海港受台风影响， 过点作， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． （3）台风影响该海港持续的时间为小时． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形， ∴∠ACB=90°； （2）略 （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时） 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 23. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）____________． （2）化简：． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：， ， ， ． 24. 小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． （1）的整数部分为___________； （2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】（1）2 （2） 解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图2），根据示意图可得图中大正方形的面积， ． 又， ． 当时，可略去，得方程． 解得． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 对于（1），根据的范围可得答案； 对于（2），仿照小李同学的探索过程解答即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以的整数部分是2． 故答案为：2； 【小问2详解】 略 25. 已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒， （1）当秒时，求的面积； （2）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出值，若不存在，请说明理由； （3）当在边上时，是否存在某一时刻，使点在的角平分线上？若存在求出值，若不存在，请说明理由； （4）若将周长分为两部分，求出的值． 【答案】（1） （2）存在某一时刻，点在的垂直平分线上，此时t的值为秒． （3）存在某一时刻，使点在的角平分线上，此时t的值为秒． （4）2或． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，当秒时，、，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图，设是的垂直平分线，连接，利用垂直平分线的性质可得，且，，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）如图，设是角平分线，过Q作，利用角平分线的性质可得，则，且，易证全等三角形的判定与性质可得，即；然后在中，利用勾股定理列方程求解即可； （4）先求得的周长为，，再分当P在上，当Q在上和P在上，当Q在上两种情况，分别画出图形并结合题意列关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， 当秒时，， ∴ ∴的面积为． 【小问2详解】 解：如图，设是的垂直平分线，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，且， ∴， 在中，， ∴，解得：符合题意， ∴存在某一时刻，使点在的垂直平分线上，此时t的值为秒． 【小问3详解】 解：如图，设是角平分线，过Q作， ∵， ∴，则，且， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：符合题意， ∴存在某一时刻，使点在的角平分线上，此时t的值为秒． 【小问4详解】 解：∵，，， ∴的周长为， ∵它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止， ∴， 如图：当P在上，Q在上，即，此时， ∵将周长分为两部分， ∴或14， 当时，即，解得：，符合题意； 当时，即，解得：，不符合题意． 如图：当P在上，Q在上，即，此时， ∵将周长分为两部分， ∴或14， 当时，即，解得：，不符合题意； 当时，即，解得：，符合题意． 综上，将周长分为两部分，的值为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列各数：、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0），其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 最简二次根式和可以合并，那么（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（ ） A. 18 B. 22 C. 26 D. 30 9. 实数，在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 8的立方根是________． 12. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 13. 比较大小：_________2（选填“>”“=”或“<”）． 14. 已知为实数，且，则的值为________． 15. 若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是__________． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 17. 如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 三、解答题（满分69分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 19. 求下列各式中的的值： （1） （2） 20. 已知的平方根是，4是的平方根，求的值． 21. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）____________． （2）化简：． （3）若，求的值． 24. 小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． （1）的整数部分为___________； （2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 25. 已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒， （1）当秒时，求的面积； （2）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出值，若不存在，请说明理由； （3）当在边上时，是否存在某一时刻，使点在的角平分线上？若存在求出值，若不存在，请说明理由； （4）若将周长分为两部分，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $