精品解析：广东深圳市龙岗区同心实验学校2026-2027学年九年级第一学期数学10月过程性评价

2026-2027学年第一学期10月过程性评价 （2026年10月） 九年级数学 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程配方后，原方程变为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 16 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点分别为的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 7. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，且；则四边形是矩形 C. 若，则四边形是正方形 D. 若，，，则四边形是菱形 8. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 将关于的一元二次方程化成一般式为__________． 10. 已知a是一元二次方程的一个实数根，则的值为______． 11. 如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为_____． 12. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °． 13. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为______． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 解方程：． 15. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此，可得．…第四步 所以，…第五步 （1）小明同学的解题过程中，从第______步开始出现错误． （2）请用配方法解一元二次方程：． 16. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 18. 某汽车销售公司购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 19. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______． （2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 20. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点的位置随着点位置的变化而变化． （1）【问题解决】如图1，当点在线段上，点在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）【类比探究】如图2，当点在线段上，点在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展延伸】当点在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请画出图形，并求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月过程性评价 （2026年10月） 九年级数学 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，解决此题． 【详解】解：A．含分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，故A不符合题意． B．方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故B符合题意． C．方程含两个未知数和，不是一元方程，故C不符合题意． D．方程含两个未知数和，不是一元方程，故D不符合题意． 2. 将方程配方后，原方程变为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程变形为完全平方式，再对照选项选出答案． 【详解】解：， ， ． 3. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；首先求出根的判别式的值，然后根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质可得、互相垂直平分，，根据中位线性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点分别为的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题关键是根据矩形的性质得出，再根据中位线的性质求出的长即可． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点 ∴，，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 7. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，且；则四边形是矩形 C. 若，则四边形是正方形 D. 若，，，则四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，能判定四边形是平行四边形，此选项正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； C、∵， 四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】如图， ∵菱形中，， ， 是等边三角形， ∵对角线， ， ， 如图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 将关于的一元二次方程化成一般式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；（是常数，且）． 将关于的一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一般式为， 故答案为： ． 10. 已知a是一元二次方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把方程的根代入一元二次方程，得到关于的代数式的值，再整体代入所求代数式求值． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ． ． 11. 如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理算出，结合栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．得出是的中线，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分． ∴是的中线， ∴， 故答案为：． 12. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，可得是等边三角形，由菱形可得平分，继而可得． 【详解】解：连接，由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． 13. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】取，的中点为，，连接，， 由菱形的性质可得，，，由三角形的中位线定理可得，，同理可得，，由，推出，证明，求出，则，，根据三角形中线的性质得到，则可求出，最后由勾股定理可得的长． 【详解】解：取，的中点为，，连接，， 四边形为菱形， ，，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ， ，即， ， ． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 即，． 15. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此，可得．…第四步 所以，…第五步 （1）小明同学的解题过程中，从第______步开始出现错误． （2）请用配方法解一元二次方程：． 【答案】（1）四 （2）， 【解析】 【分析】（1）观察小明的解方程步骤，根据平方根的性质判断出错的步骤． （2）按照配方法解一元二次方程的步骤，先化二次项系数为1，再移项、配方，最后开平方求解方程． 【小问1详解】 解：， ， 从第四步开始出现错误． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，． 16. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵点是边的中点， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合即可证明； （2）先对运用勾股定理求解，然后由全等三角形的性质即可得到的长度，即可求解的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）利用根与系数的关系求得，，再结合，列式求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 18. 某汽车销售公司购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】下调后每辆汽车的售价为万元． 【解析】 【分析】设每辆汽车下调万元，先表示出每辆的利润与每周销售量，再根据总利润=单辆利润×销售量列出一元二次方程，解方程后结合尽量让利于顾客选取售价更低的解． 【详解】解：设每辆汽车的售价下调了万元． ， 解得，， 要尽量让利于顾客， ． （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 19. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______． （2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【小问1详解】 解：在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 20. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点的位置随着点位置的变化而变化． （1）【问题解决】如图1，当点在线段上，点在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）【类比探究】如图2，当点在线段上，点在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展延伸】当点在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请画出图形，并求出的长． 【答案】（1）； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴ （3）画出图形如下： 【解析】 【分析】（1）连接证明是等边三角形，结合等边得到，用证，得到，再通过角度计算得出； （2）同（1）可证； （3）连接交于，利用菱形性质结合角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，沿用前面结论得到、，在中利用勾股定理算出，再在用勾股定理求． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点在的延长线上时，连接交于点，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 在中，， 同（2）可证，在中，， 同（2）可证， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $