山东青岛市海信学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段性综合素养测评 九年级数学 一、选择题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 1. 已知，则下列各式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 4. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，是其对角线，沿折叠使点C落在上的处，得到，连接．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 7. 如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程 B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程 D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程 二、填空题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 9. 方程的根是_______________． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__________． 11. 已知，若，则______． 12. 如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是______． 13. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 15. 如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为______． 16. 如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为________． 三、作图题（本题满分4分，共1道题） 17. 已知：如图，；求作：正方形，使D为的中点，在边上，且G在内部． 四、解答题（本题满分68分，共8道题） 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）． （4） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 20. 为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧． （1）该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率； （2）为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 22. 【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比． 已知，如图1，中，为线段上任意一点，连接，则有：． 【模型应用】 （1）如图2，任意四边形中，E、F分别是边的中点，连接、，若四边形的面积为S，则________． （2）如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点A和点C最近的三等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． （3）如图4，在任意四边形中，点E、F分别是边上离点B和点D最近的n等分点，连接，若四边形的面积为S，则________． 23. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 24. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． （2）欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． （3）【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． （4）刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ （3）是否存在某一时刻，使平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年度第一学期阶段性综合素养测评 九年级数学 一、选择题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（本题满分24分，共8道题，每道题3分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】且 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、作图题（本题满分4分，共1道题） 【17题答案】 【答案】 如图，四边形即为所求； 四、解答题（本题满分68分，共8道题） 【18题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【19题答案】 【答案】（1）证明： ． 无论取何值，都有，， 该方程总有两个不相等的实数根． （2） 【20题答案】 【答案】（1）该农场跑山鸡数量的年增长率为 （2）重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【22题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）． 【23题答案】 【答案】（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【24题答案】 【答案】（1） 解：连接， 由折叠的性质得，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）； 解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 设，则， ∵、、三点共线， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， 即； （3） （4） 【25题答案】 【答案】（1）3 （2） （3）1或3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $