精品解析：山东淄博市张店区淄博张店区第九中学2026-2027学年九年级上学期 数学阶段性测试 （2026.10）

初四数学10.9限时训练 一．选择题（共10小题） 1. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查余弦三角函数的定义，需明确一个角的余弦为邻边比斜边；先根据勾股定理求的长，再根据余弦的定义求. 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， 故选：A. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 3. 如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 5. 将二次函数的图象平移，使它平移后的图象的顶点为，则需将该二次函数图象（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象平移，熟练掌握二次函数顶点式的转化及平移规律是解题的关键．先将原二次函数化为顶点式，确定其顶点坐标，再结合目标顶点坐标，根据“左加右减、上加下减”的平移规则，分析顶点的平移方向与距离，进而确定函数图象的平移方式． 【详解】解：原函数化为顶点式： ， 顶点为， 目标顶点为， 水平平移：（向右平移个单位）， 垂直平移：（向上平移个单位）， 故需先向右平移个单位，再向上平移个单位． 故选：． 6. 如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的性质，解直角三角形求出斜坡的长，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，斜坡的长度为， ∴小车在斜面上下滑的平均速度为， 故选：B． 7. 已知二次函数（m为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5个单位长度，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5，由于抛物线开口向下，顶点为最高点，因此顶点到x轴的距离必须小于5，即顶点纵坐标的绝对值小于5，从而保证水平线无交点、有两个交点，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为，抛物线开口向下， ∵图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5， ∴即顶点纵坐标的绝对值小于5，从而保证水平线无交点、有两个交点， ∴顶点到x轴的距离小于5，即， ∴， 解得． 故选：D． 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 9. 如图，在中，，，，D是斜边上一点，连接，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，在，利用三角形函数求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长即可． 【详解】解：在，，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 已知函数的图象上有两个点，且两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，开口方向，再利用二次函数的对称性与增减性逐一判断4个结论． 【详解】解：，对称轴为直线，开口向上， ①，，两点关于直线对称，不是抛物线对称轴，，，错误； ②，，两点关于直线对称，，，正确； ③，在对称轴右侧，随的增大而增大，，，，，错误； ④，在对称轴左侧，随的增大而减小，，，，，正确， 综上正确的是：②④． 二．填空题（共5小题） 11. 在中，，，，那么的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 12. 函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式分母不为0，二次根式被开方数非负，即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，该函数表达式分母含二次根式，因此需满足， 解得． 13. 如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】构造直角三角形，作高，先利用直角三角形性质求出、，再在中用勾股定理求，线段相加得到长． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 15. 如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理及得到，结合得到关于的一元二次方程，根据存在可知，进而求出的取值范围，得到的最小值再代入关于的一元二次方程求出的值，根据计算即可． 【详解】解：在和中，由勾股定理得：，， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， ∵， ∴， 整理得， 将其看作关于的一元二次方程， 可知， 整理得， ∵， ∴， 即的最小值是， ∴， 整理得， 即， 解得：， ∴． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，有理数的乘方运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．将各特殊角的三角函数值代入式子，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可得出一元二次方程，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或， ∴或时，函数是二次函数． 18. 在中，已知，解这个直角三角形． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 19. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由于二次函数开口向下，有最大值，通过顶点公式求最大值； （2）在给定内，求函数的值，通过计算端点和顶点值即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为； ∴函数最大值为7； 【小问2详解】 解：当时， 当时，； 当时，； 顶点在内，． ∵抛物线开口向下， ∴在内，最小值为，最大值为； ∴y的取值范围为． 20. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． （1）求到地面距离（结果精确到）； （2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】（1）到地面距离为； （2）此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【解析】 【分析】（1）过C作于G，由坡度坡角的关系求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于F，则，求出，由（1）得，然后求出的长即可；由锐角三角函数定义求出，再由（1）得，然后求出的度数即可． 【小问1详解】 解：过作于， 踏板与地面的坡比，， ， ， ， 即到地面距离为； 【小问2详解】 解：延长交于， 则， 该人身高为1.8米，通过尝试是身高0.8倍运动起来更加舒服， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， 由（1）得：， ． 此时支架与踏板之间夹角的度数为． 21. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） 解：列表： 0 1 2 3 0 0 描点、连线，画图： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到二次函数的顶点； （2）利用描点法画函数图象； （3）根据二次函数的图象直接解答即可． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象得，当时，． 22. 已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα＝． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】(1)由sinα＝＝，设AB=3x，则AC=5x，由勾股定理得出方程（3x）2+82＝（5x）2，解方程得出AC=10，即可求出OC＝AC＝×10＝5； (2)由直角三角形斜边上的中线性质得出OB＝OC＝OA＝AC＝5，设OD=y，则BD=OB+OD=5+y，由勾股定理得出方程82﹣（5+y）2＝52﹣y2，得出y=，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC， ∴sinα＝＝， 设AB＝3x，则AC＝5x， ∵AB2+BC2＝AC2， 即（3x）2+82＝（5x）2， 解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去）， ∴AC＝10， ∵点O是AC的中点， ∴OC＝AC＝×10＝5； （2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点， ∴OB＝OC＝OA＝AC＝5， 设OD＝y，则BD＝OB+OD＝5+y， ∵CD⊥OB， ∴CD2＝BC2﹣BD2＝OC2﹣OD2， ∴82﹣（5+y）2＝52﹣y2， 解得：y＝， ∴cos∠DOC＝＝＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键． 23. 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；；（2）①；②或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学10.9限时训练 一．选择题（共10小题） 1. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 3. 如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象平移，使它平移后的图象的顶点为，则需将该二次函数图象（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 6. 如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（m为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于5个单位长度，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 9. 如图，在中，，，，D是斜边上一点，连接，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 已知函数的图象上有两个点，且两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二．填空题（共5小题） 11. 在中，，，，那么的值是________． 12. 函数中自变量的取值范围是__________． 13. 如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 14. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 15. 如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 18. 在中，已知，解这个直角三角形． 19. 已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 20. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． （1）求到地面距离（结果精确到）； （2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 21. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 22. 已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα＝． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 23. 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $