5.3《一元一次方程实际问题》讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第六讲 一元一次方程应用 课 程 切 片 1．列方程解应用题的步骤 (1)审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现； (2)设：设未知数，一般求什么，就设什么为，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设； (3)找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系； (4)列：根据这个相等关系列出方程； (5)解：解所列出的方程，求出未知数的值； (6)验：检验所求得的解是否符合题意； (7)答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）． 2．设未知数的三种方法 (1)直接设未知数： 直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于需要求的未知数只有一个的情况． (2)间接设未知数： 设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用． (3)引入辅助未知数：号 设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去． 模块一：销售、储蓄问题 1．打折销售问题相关知识点： (1)打折，就是商品以原价为基础，按一定的比例降价出售，如一件衣服原价300元，若以8折销售，则实际售价为元，打折销售实际上是利润率问题． (2)打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价元，售价元，利润元，利润率，这些量之间的关系为等，这是解决此类问题的基础． (3)商品打折，是按指定价的销售，而不是把定价减少销售，另要注意，打折后用参与计算，而不是用参与计算． 2．储蓄与利率问题知识点 储蓄问题与我们日常生活密切相关，在这类问题中有本金、利息、利率、本息和存款期限等基本量，顾客存入银行的钱称为本金，银行付给顾客的酬金称为利息，存入的时间称为期数，每个期数后利息与本金的比称为利率，通常用百分数表示． 3．储蓄问题中基本量之间的关系 ①本息和：本金+利息；②利息=本金利率期数；③利率=． 【例1】打折销售问题 (1)某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可以打(　　) A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 (2)某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为，这种商品每件标价是_____________元． (3)一件商品每件成本元，增加成本的25%定出售价，后因仓库积压减价，九折出售，每件还盈利_____________元． (4)(2025海珠区期末)某学校计划订购一种图书．现有甲、乙两家书店，图书标价均为每本50元，甲书店促销方案为：凡在本店购书，一律享受九折优惠．乙书店促销方案为：若购书数量超过80本，则超出部分享受八折优惠． ①若该校准备订购()本图书，请分别求在甲、乙两家书店购买图书需支付的金额，并用含的代数式表示(结果需化简)； ②当该校订购多少本图书时，在甲、乙两家书店图书需支付的金额相同？ 【例3】一元一次方程储蓄问题 小张以两种形式共储蓄了500元，第一种的年利率为3.7%,第二种的年利率为,一年后共得到15.6元的利息，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是多少？ 模块二：工程、行程问题 1．行程问题基本公式：路程=速度×时间 总路程=平均速度×总时间； 2．行程问题的基本类型：相遇追及、火车问题、流水行船等． 3．相遇追及问题： 相遇路程＝甲走路程+乙走路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间． 追及路程＝甲走路程−乙走路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度−乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间． 4．流水行船问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速—水速． 船速=(顺水速度+逆水速度)÷； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷． 5．工程问题：是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间． 【例3】行程问题——变速问题 春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度． 【例4】行程问题——追赶问题 甲骑自行车从地到地，乙骑自行车从地到地．两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求、两地间的距离． 【例5】行程问题——顺逆流问题 一小船由港到港顺流需行6小时，由港到港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由港出发顺流行至港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问： (1)若小船按水流速度由港漂流到港需多少小时？ (2)救生圈是何时掉入水中的？ 【例6】行程问题——火车过桥问题 一桥长1000米,一列火车从车头上桥到车尾离桥用了一分钟时间,整列火车完全在桥上的时间为40秒,求火车速度和车长为多少米? (2)某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程队所用天数是乙工程队的2倍． ①甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ ②甲工程队单独做天后，再由甲、乙两工程队合作天(用含的代数式表示)可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元． 【例7】一元一次方程工程问题 整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，再增加2人和他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 模块三：方案选择问题 1．方案选择问题 方案选择问题是指需要根据给定的条件和限制，从多个备选方案中选择最优或最合适方案的问题． 2．方案选择问题的特点 ①方案选择问题通常具有多个可行方案，每个方案都有其优缺点和适用范围． ②方案选择问题需要综合考虑多种因素，如成本、效益、资源、环境等，以确定最优方案． ③方案选择问题需要运用数学模型和计算方法，对不同方案进行定量分析和比较． 【例8】一元一次方程方案问题 (2025白云区期末)某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的80%付款． 某学校计划添置100张办公桌和把办公椅(超过100)． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案(直接写出方案)． 【例9】一元一次方程分段收费问题 (2024海珠区期末)广州市居民生活用电阶梯收费标准如表： 档级 月用电量 电价 第1档 不超过260度 元/度 第2档 超过260度但不超过600度的部分 元/度 第3档 超过600度的部分 元/度 根据收费标准，解答下列问题： (1)小军家6月份用电量150度，支付电费88.5元，则______； (2)小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为度，则这个月应缴电费______元(用含的代数式表示)； (3)8月出现了高温天气，小军家缴电费460元，求这个月的用电量． 【例10】一元一次方程配套问题 (1)油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？ (2)(2025番禺区期末)某非遗文化工坊为推广榄雕工艺，推出“非遗传承配套礼盒”定制服务，每套礼盒由1本榄雕技法手册和2枚榄雕挂件组成，已知该工坊共有36名工人，其中第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人． ①该工坊第一车间和第二车间各有多少人？ ②已知每名工人每天可制作4本技法手册或10枚榄雕挂件，为提升礼盒 质量，原计划安排第一车间负责制作榄雕挂件，第二车间负责制作技法手册，那么每天制作的手册与挂件不能完全配套，若不考虑其他因素，问需从第二车间安排多少名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套？ 巅 峰 突 破 【突破1】2020年第33个国际禁毒日到来之际，某市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下： (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； (2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是2元或3元，那么笔记本的单价是多少元？ 【突破2】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用． (1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？(注：投资收益率=×100%) (2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 【突破3】(2025越秀区期末)在一条东西走向的河流上依次分布有、、三个码头，、两码头之间距离20海里，、两码头之间距离40海里．甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向码头，丙船从码头开往码头后立即调头返回码头．已知甲船在静水中的航速为7海里/时，乙船在静水中的航速为5海里/时，丙船在静水中的航速为11海里/时，水流速度为3海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到码头停止． (1)甲船从码头到码头的航行速度为______海里/时，乙船从码头到码头的航行速度为______海里/时； (2)在乙船抵达码头之前，若某个时刻甲船恰好位于乙、丙两船之间，且与两船的距离相等时，求此时甲船到码头的距离； (3)设甲、乙两船之间的距离为，乙、丙两船之间的距离为，在甲船抵达码头之前，是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【突破4】某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游7天，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为每人7天共2000元，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠． (1)如果设参加旅游的员工共有(＞10)人，则甲旅行社的费用为_____________元，乙旅行社的费用为_____________元；(用含的式子表示，并化简) (2)假如这个单位有20名员工参加旅游，该单位选择哪一家旅行社比较合算？请说明理由． (3)假如这7天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？(写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程) 课 后 自 测 【练习1】(1)百货大楼某件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是(　　)． A．106元 B．105元 C．118元 D．108元 (2)商场将某种品牌的冰箱按进价提高50%作为标价，然后打出“八折优惠，另送100元现金”的广告，结果每台冰箱仍可获利300元，则每台冰箱的进价是(　　)． A．2000元 B．1950元 C．2280元 D．2350元 【练习2】某航空公司规定，经济舱旅客最多可免费携带20千克的行李，超重部分每千克按飞机票价的购买行李票．有一旅客携带了40千克行李乘坐该航空公司的经济舱，现该旅客购买的飞机票和行李票共1040元，问：该旅客购买的飞机票是多少元？ 【练习3】列方程解应用题． (1)某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200；如果用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100；新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？ (2)元旦期间，晓睛驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了60分钟，返回时平均速度提高了5千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少用了5分钟，求港珠澳大桥的长度． 【练习4】我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？ 这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为尺，则求解井深的方程正确的是　　 A． B． C． D． 【练习5】甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． (1)问乙单独整理多少分钟完工？ (2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【练习6】为发展校园足球运动，我校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服的价格比每个足球多40元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买5套队服，送1个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过100套，则购买足球打八折． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少？ (2)若我校购150套队服和个足球(＞30)，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在(2)的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？并说明理由． 【练习7】列方程解应用题： 某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能刚好配套？一共可以配成多少套？ 答案版 模块一：销售、储蓄问题 1．打折销售问题相关知识点： (1)打折，就是商品以原价为基础，按一定的比例降价出售，如一件衣服原价300元，若以8折销售，则实际售价为元，打折销售实际上是利润率问题． (2)打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价元，售价元，利润元，利润率，这些量之间的关系为等，这是解决此类问题的基础． (3)商品打折，是按指定价的销售，而不是把定价减少销售，另要注意，打折后用参与计算，而不是用参与计算． 2．储蓄与利率问题知识点 储蓄问题与我们日常生活密切相关，在这类问题中有本金、利息、利率、本息和存款期限等基本量，顾客存入银行的钱称为本金，银行付给顾客的酬金称为利息，存入的时间称为期数，每个期数后利息与本金的比称为利率，通常用百分数表示． 3．储蓄问题中基本量之间的关系 ①本息和：本金+利息；②利息=本金利率期数；③利率=． 【例1】打折销售问题 (1)某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可以打(　　) A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 (2)某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为，这种商品每件标价是_____________元． (3)一件商品每件成本元，增加成本的25%定出售价，后因仓库积压减价，九折出售，每件还盈利_____________元． (4)(2025海珠区期末)某学校计划订购一种图书．现有甲、乙两家书店，图书标价均为每本50元，甲书店促销方案为：凡在本店购书，一律享受九折优惠．乙书店促销方案为：若购书数量超过80本，则超出部分享受八折优惠． ①若该校准备订购()本图书，请分别求在甲、乙两家书店购买图书需支付的金额，并用含的代数式表示(结果需化简)； ②当该校订购多少本图书时，在甲、乙两家书店图书需支付的金额相同？ 【答案】(1)设打折，此时售价为元． 根据题意可得：，， ∴至多打七折，选B． (2)设商品每件标价为元，九折后的售价为元． 根据题意可得：，， ∴每件标价240元． (3)成本为元，定价为元，九折后的实际售价为元． 根据题意可得：． (4)①解：该校准备订购本图书， 则在甲书店购买需支付的金额为：元； 在乙书店购买需支付的金额为：元． ②根据题意，得，，解得， 答：当该校订购160本图书时，在甲、乙两家书店图书需支付的金额相同． 【例3】一元一次方程储蓄问题 小张以两种形式共储蓄了500元，第一种的年利率为3.7%,第二种的年利率为,一年后共得到15.6元的利息，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是多少？ 【答案】解：设第一种存款方式存了元，则第二种存款为元， 根据题意可得：，解得：， 则第二种存款为(元)， 答：小张第一种存款方式存了300元，第二种存款为200元． 模块二：工程、行程问题 1．行程问题基本公式：路程=速度×时间 总路程=平均速度×总时间； 2．行程问题的基本类型：相遇追及、火车问题、流水行船等． 3．相遇追及问题： 相遇路程＝甲走路程+乙走路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间． 追及路程＝甲走路程−乙走路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度−乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间． 4．流水行船问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速—水速． 船速=(顺水速度+逆水速度)÷； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷． 5．工程问题：是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间． 【例3】行程问题——往返问题 春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度． 解：设他去时驾车的平均速度为千米/小时，则返回时驾车的平均速度为千米/小时， 依题意，得：，解得， 答：小陈去时的平均速度为75千米/小时． 【例4】行程问题——追赶问题 甲骑自行车从地到地，乙骑自行车从地到地．两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求、两地间的距离． 【答案】设A、B两地间的距离为千米． ，解得， 答：A、B两地间的距离为108千米． 【例5】行程问题——顺逆流问题 一小船由港到港顺流需行6小时，由港到港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由港出发顺流行至港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问： (1)若小船按水流速度由港漂流到港需多少小时？ (2)救生圈是何时掉入水中的？ 【解析】(1)设小船在静水中的速度为，水流速度为， 则，解得， A港漂流到B港所需时间：(小时)， 答：小船按水流速度由A港漂流到B港所需时间为小时； (2)设小船行驶小时后，救生圈掉入水中， ，将代入上式，得到， 答：救生圈是上午11点掉入水中的． 【例6】行程问题——火车过桥问题 一桥长1000米,一列火车从车头上桥到车尾离桥用了一分钟时间,整列火车完全在桥上的时间为40秒,求火车速度和车长为多少米? 【答案】设火车长为米,则火车60秒行驶的路程是米，40秒行驶的路程是米， ，解得， 火车速度：(米/秒)． (2)某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程队所用天数是乙工程队的2倍． ①甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ ②甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天(用含a的代数式表示)可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元． 【解答】解：(1)设乙工程队单独完成此项工程需要x天， 由题意得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ． 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天； (2)甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作： (天)， 由题意可得： ，解得：， 答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元． 【例7】一元一次方程工程问题 整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，再增加2人和他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【答案】解：设应先安排x人工作， 根据题意得：，解得：， 答：应先安排2人工作． 模块三：方案选择问题 1．方案选择问题 方案选择问题是指需要根据给定的条件和限制，从多个备选方案中选择最优或最合适方案的问题． 2．方案选择问题的特点 ①方案选择问题通常具有多个可行方案，每个方案都有其优缺点和适用范围． ②方案选择问题需要综合考虑多种因素，如成本、效益、资源、环境等，以确定最优方案． ③方案选择问题需要运用数学模型和计算方法，对不同方案进行定量分析和比较． 【例8】一元一次方程方案问题 (2025白云区期末)某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的80%付款． 某学校计划添置100张办公桌和把办公椅(超过100)． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案(直接写出方案)． 【答案】解：(1)方案一费用：(元) 方案二费用：(元) (2)由题意得：，解得， 答：当时，两种方案的费用一样多． (3)当办公椅数量超过250把时，选择方案二更优惠； 当办公椅数量等于250把时，选择方案一和方案二一样优惠； 当办公椅数量少于250把时，选择方案一更优惠． 【例9】一元一次方程分段收费问题 (2024海珠区期末)广州市居民生活用电阶梯收费标准如表： 档级 月用电量 电价 第1档 不超过260度 元/度 第2档 超过260度但不超过600度的部分 元/度 第3档 超过600度的部分 元/度 根据收费标准，解答下列问题： (1)小军家6月份用电量150度，支付电费88.5元，则______； (2)小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为度，则这个月应缴电费______元(用含的代数式表示)； (3)8月出现了高温天气，小军家缴电费460元，求这个月的用电量． 【答案】(1)用电量150度属于第1档， ，解得：； (2)第2档范围：， 前260度电费：， 超出260度部分：度，单价元/度， 电费：； (3)先计算两档临界点电费： 用电量260度电费：元， 用电量600度电费：元， ∵， ∴用电量超过600度，进入第3档， 第3档单价：元/度， 设总用电量为度：，， 答：8月用电量为700度． 【例10】一元一次方程配套问题 (1)油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？ 【答案】设生产圆形铁片的工人为人，则生产长方形铁片的工人为人， ，解得：， 则， 答：生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人． (2)(2025番禺区期末)某非遗文化工坊为推广榄雕工艺，推出“非遗传承配套礼盒”定制服务，每套礼盒由1本榄雕技法手册和2枚榄雕挂件组成，已知该工坊共有36名工人，其中第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人． ①该工坊第一车间和第二车间各有多少人？ ②已知每名工人每天可制作4本技法手册或10枚榄雕挂件，为提升礼盒 质量，原计划安排第一车间负责制作榄雕挂件，第二车间负责制作技法手册，那么每天制作的手册与挂件不能完全配套，若不考虑其他因素，问需从第二车间安排多少名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套？ 【答案】解：①设该工坊第一车间有人，则第二车间有人， 由题意得：，解得， 则， 答：该工坊第一车间有14人，第二车间有22人； ②设需从第二车间安排名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套， 由题意得：，解得：， 答：需从第二车间安排2名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套． 巅 峰 突 破 【突破1】2020年第33个国际禁毒日到来之际，某市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下： (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； (2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是2元或3元，那么笔记本的单价是多少元？ 【解答】解：(1)设单价为6元的钢笔购买了支，则单价为10元的钢笔购买了支， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 不合题意， 学习委员搞错了． (2)设单价为6元的钢笔购买了支，笔记本的单价为元，则单价为10元的钢笔购买了支， 依题意得：， ． 当时，，符合题意； 当时，，不为整数，舍去． 答：笔记本的单价是2元． 【突破2】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用． (1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？(注：投资收益率=×100%) (2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 【答案】(1)设商铺标价为万元，则 按方案一购买，则可获投资收益 投资收益率为 按方案二购买，则可获投资收益 投资收益率为 ∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高． (2)由题意得 解得万元 ∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元． 【突破3】(2025越秀区期末)在一条东西走向的河流上依次分布有、、三个码头，、两码头之间距离20海里，、两码头之间距离40海里．甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向码头，丙船从码头开往码头后立即调头返回码头．已知甲船在静水中的航速为7海里/时，乙船在静水中的航速为5海里/时，丙船在静水中的航速为11海里/时，水流速度为3海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到码头停止． (1)甲船从码头到码头的航行速度为______海里/时，乙船从码头到码头的航行速度为______海里/时； (2)在乙船抵达码头之前，若某个时刻甲船恰好位于乙、丙两船之间，且与两船的距离相等时，求此时甲船到码头的距离； (3)设甲、乙两船之间的距离为，乙、丙两船之间的距离为，在甲船抵达码头之前，是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：由题意得，甲船顺流速度：7+3=10海里／时， 乙船顺流速度：5+3=8海里／时， 故答案为：10，8； (2)以为原点，东为正方向作数轴，如下图： 设经过了小时，当乙船抵达码头时，，解得， ∴在乙船抵达码头之前时， 甲船距离为：， 乙船距离为：， 丙船距离为：， 由题意得，，解得， ∴此时甲船到码头的距离为海里； (3)设甲船距离码头为，乙船距离码头为，丙船距离码头为： 当时，逆流，， 当时，顺流返回，， 当甲追上乙时，，解得， ∴甲永远追不上乙， ∴当时，， ， 当时，乙船已经到码头，， ， 当时，， ∴， 则 ∵要为定值， ∴ 解得（舍去）； 当时，且， ∴， 则， ∵要为定值， ∴，解得； 当时，， ∵要为定值， ∴， （舍去）； 当时，， 此时式子的值与无关，故舍去； 综上所述，存在常数，使得在范围内为定值． 【突破4】某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游7天，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为每人7天共2000元，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠． (1)如果设参加旅游的员工共有(＞10)人，则甲旅行社的费用为_____________元，乙旅行社的费用为_____________元；(用含的式子表示，并化简) (2)假如这个单位有20名员工参加旅游，该单位选择哪一家旅行社比较合算？请说明理由． (3)假如这7天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？(写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程) 【答案】解：(1)由题意得，甲旅行社的费用； 乙旅行社的费用， 故答案为：；； (2)将代入得，甲旅行社的费用(元)； 乙旅行社的费用＝1600×20﹣1600＝30400(元) ∵30000＜30400元 ∴甲旅行社更优惠； (3)设最中间一天的日期为，则这七天分别为：，，，，，， ∴这七天的日期之和， 故答案为：7a． 课 后 自 测 【练习1】(1)百货大楼某件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是(　　)． A．106元 B．105元 C．118元 D．108元 (2)商场将某种品牌的冰箱按进价提高50%作为标价，然后打出“八折优惠，另送100元现金”的广告，结果每台冰箱仍可获利300元，则每台冰箱的进价是(　　)． A．2000元 B．1950元 C．2280元 D．2350元 【答案】(1)D；(2)A． 【练习2】某航空公司规定，经济舱旅客最多可免费携带20千克的行李，超重部分每千克按飞机票价的购买行李票．有一旅客携带了40千克行李乘坐该航空公司的经济舱，现该旅客购买的飞机票和行李票共1040元，问：该旅客购买的飞机票是多少元？ 【解答】解：设该旅客购买的飞机票是元， 依题意得：，解得：． 答：该旅客购买的飞机票是800元． 【练习3】列方程解应用题． (1)某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200；如果用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100；新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？ (2)元旦期间，晓睛驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了60分钟，返回时平均速度提高了5千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少用了5分钟，求港珠澳大桥的长度． 【解答】解：(1)设新、旧工艺的废水排量分别为、， 则依题意得， 解得． 则，. 答：新、旧工艺的废水排量分别为和； (2)设港珠澳大桥的长度千米， 由题意可得： 解得： 答：港珠澳大桥的长度55千米． 【练习4】我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？ 这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为尺，则求解井深的方程正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：，根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：， 故． 故选：． 【答案】B． 【练习5】甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． (1)问乙单独整理多少分钟完工？ (2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【答案】(1)设乙的工效为． 解得 ∴ 答：乙单独整理需要80分钟完工． (2)设甲至少整理分钟才能完工． 解得 答：甲至少整理25分钟才能完工． 【练习6】为发展校园足球运动，我校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服的价格比每个足球多40元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买5套队服，送1个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过100套，则购买足球打八折． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少？ (2)若我校购150套队服和个足球(＞30)，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在(2)的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？并说明理由． 【答案】解：(1)设每个足球的价格是元，则每套队服的价格是元， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：每套队服的价格是120元，每个足球的价格是80元． (2)在甲商场购买所需费用为元． 在乙商场购买所需费用为元． (3)当时，解得：，即； 当时，解得：； 当时，解得：． 答：当时，选择甲商场购买比较合算；当时，选择两家商场费用相同；当时，选择乙商场购买比较合算． 【练习7】列方程解应用题： 某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能刚好配套？一共可以配成多少套？ 【答案】解：设每天加工的大齿轮的有人，则每天加工的小齿轮的有人，根据题意可得：，解得：， 则(人)， 20×16＝320(套)， 答：每天加工的大齿轮的有20人，每天加工的小齿轮的有64人，一共可以配成320套． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $