精品解析：安徽省阜阳市颍州区阜阳市第十五中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性练习一 九年级数学 考试范围：第21∼23章 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 2或4 6. 如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 顶点坐标为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知，若关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为边上一动点，交于点，连接，设，，则能表示与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的最小值为4，则m的值为______． 12. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 如图，在中，，，．现在将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为______ ． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数解析式为，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处安装了两盏警示灯． （1）这两盏警示灯之间的水平距离是______米． （2）一艘宽为20米的货船要顺利从桥下通过，需保持其顶部与桥之间的间隔不少于米，那么货船的高不得超过______米． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的； （2）再画出以点为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 设二次函数（a，b是常数，）． （1）若，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标和对称轴； （2）若该二次函数的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的解析式． 18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点是正方形内的一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 20. 某小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 六、（本题满分12分） 21. 嘉琪同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． （1）求二次函数表达式； （2）本次吊球能否过网？并说明理由； （3）通过对本次训练进行分析，若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球经过点C正上方处． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 八、（本题满分14分） 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的解析式． （2）求该抛物线的顶点坐标． （3）斜坡上点处有一棵树，是的中点，小球恰好越过树的顶端，直线轴，横、纵坐标的每个单位长度均为1米．求这棵树的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性练习一 九年级数学 考试范围：第21∼23章 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据中心对称图形的概念求解即可作答．． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，不符合一元二次方程的定义，故选项A错误； ，不符合一元二次方程的定义，故选项B错误； ，不符合一元二次方程的定义，故选项C错误； ，符合一元二次方程的定义，故选项D正确； 故选D． 3. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 4. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到抛物线平移后的表达式． 【详解】解：根据题意可得，抛物线平移后的解析式为：， 故选：B． 5. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解： ， 解得：或， 当等腰三角形的三边为，，时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为，，时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，连接可得它们的交点坐标为， ∵成中心对称的两个图形中，对应点的连线必过对称中心， ∴对称中心的坐标为：， 故选B. 7. 顶点坐标为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求的抛物线解析式为，根据两个抛物线形状相同且开口方向相反得到，再结合顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：设所求的抛物线解析式为， ∵所求抛物线与函数的图象相同且开口方向相反， ∴， ∴所求的抛物线解析式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的顶点坐标是是解题的关键． 8. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②符合题意； ③对称轴为，当和时函数值相等，都小于0， ，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 9. 已知，若关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出抛物线，直线，直线，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． 【详解】解：依题意，∵， ∴， 关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， 同理得关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵，， ∴如图所示： 由图可知，， 故选：A． 10. 如图，在中，，，为边上一动点，交于点，连接，设，，则能表示与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，根据列出解析式再判断即可． 【详解】如图，过点作交延长线于点， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ． ∵ ∴ 在中，， ， . ∴当时，， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的最小值为4，则m的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据函数的最小值为4，列出方程解之即可．解题的关键是掌握求最值的公式． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 故答案为：8． 12. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，．现在将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，关键是证是直角三角形． 由题意可得是等边三角形，可得旋转角为，可得是等边三角形，可得，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：，，， ，， ∵将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上， ，，，， ∴是等边三角形， ， ，， ∵， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数解析式为，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处安装了两盏警示灯． （1）这两盏警示灯之间的水平距离是______米． （2）一艘宽为20米的货船要顺利从桥下通过，需保持其顶部与桥之间的间隔不少于米，那么货船的高不得超过______米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用； （1）将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 （2）将代入解析式，求得出的值，结合题意分析，即可求解． 【详解】解：（1）当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为； （2）当时， ∵需保持其顶部与桥之间的间隔不少于米， ∴米，即货船的高不得超过米 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 16. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的； （2）再画出以点为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形的计算，掌握旋转与中心对称的性质是解题的关键． （1）分别确定，，关于原点对称的，，，再顺次连接，，即可得到答案； （2）分别确定，绕顺时针旋转的对应点，，再顺序连接，，即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 设二次函数（a，b是常数，）． （1）若，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标和对称轴； （2）若该二次函数的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的解析式． 【答案】（1）二次函数的图象与轴的交点坐标为，，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用待定系数法求二次函数的解析式； （1）把解析式化成交点式即可求得交点坐标，进一步求得对称轴； （2）当时，，所以抛物线过点和两点，代入列方程组解出，即可求解． 【小问1详解】 解：若，则， 令，即 解得： 二次函数的图象与轴的交点坐标为，， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，， 抛物线经过和过，，不经过点， 把过，分别代入得：， 解得， 抛物线解析式为． 18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ 【答案】（1）（600﹣10x）；（2）这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个． 【解析】 【分析】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量； （2）根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯． 故答案为（600﹣10x）； （2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000， 整理，得：x2﹣50x+400＝0， 解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去）， ∴40+x＝50，600﹣10x＝500． 答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点是正方形内的一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的长为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由勾股定理的逆定理可求，即可求解． 【小问1详解】 解：绕点顺时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ∴， ∴， 的长为； 【小问2详解】 解：绕点顺时针旋转得到， ，， 在中，，，， ，， ， 为直角三角形， ， ， ． 20. 某小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，矩形场地面积有最大值，为平方米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题关键． （1）设花园的边长为x米，则花园的的边长为米，根据题意列式，即可得到答案； （2）将二次函数化为顶点式，得到当时，随的增大而减小，再根据自变量x的取值范围，即可得到最大值． 【小问1详解】 解：设花园的边长为x米，则花园的的边长为米， 由题意得：， 墙长15米， ， 解得：， y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，矩形场地面积有最大值，为平方米． 六、（本题满分12分） 21. 嘉琪同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． （1）求二次函数表达式； （2）本次吊球能否过网？并说明理由； （3）通过对本次训练进行分析，若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球经过点C正上方处． 【答案】（1）； （2）选择吊球的方式能使球过网，理由： 当时，， ， ∴选择吊球的方式能过网； （3）1.5． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式、实数大小比较和函数平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移． （1）把点，代入二次函数求得a； （2）利用二次函数求得值与网高进行判断即可； （3）向正前方移动m米吊球，二次函数关系变为，将点代入，即可求得向正前方移动距离． 【小问1详解】 解：∵点， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 向正前方移动m米吊球，二次函数关系为：， 根据题意过点， 则， 解得，（舍去）， 故他应该向正前方移动1.5米吊球． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△ADE且AB=AC， ∴AE=AD，AB=AC， ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE， ∴∠CAE=∠DAB， ∴△AEC≌△ADB． （2）BF=2－2 【解析】 【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等； （2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，最后根据BF=BD－DF求出答案． 【详解】解析：（1）略 （3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°， ∴∠DBA=∠BAC=45°， 由（1）得AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45° ， ∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形， ∴BD=2， 又∵四边形ADFC是菱形， ∴AD=DF=FC=AC=AB=2， ∴BF=BD－DF=2－2． 考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出△ABD为直角边为2的等腰直角三角形是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的解析式． （2）求该抛物线的顶点坐标． （3）斜坡上点处有一棵树，是的中点，小球恰好越过树的顶端，直线轴，横、纵坐标的每个单位长度均为1米．求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将点代入抛物线，进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，再作答即可． （3）过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接，证明是的一条中位线，然后求出点的坐标为．再求出点的坐标为，则，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接， ． ∵点的坐标为， ，． 是的中点，是的中点， 是的一条中位线， ，， ∴点的坐标为． ∵直线轴， ∴三点共线， 将代入， 得， ∴点的坐标为， ∴， （米）， 答：这棵树的高度是米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $